明敏 發(fā)自 凹非寺
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原來，Scaling Law在32年前就被提出了！

不是2020年的OpenAI、不是2017年的百度，而是1993年的貝爾實驗室。

在一篇名為《Learning Curves: Asymptotic Values and Rate of Convergence》的文章里提出一種預測方法：

訓練誤差和測試誤差隨訓練規(guī)模增加，都會收斂到同一個漸近誤差值，這種收斂符合冪律形式。

通過這種方法，研究人員可以預測模型在更大數(shù)據集上的表現(xiàn)。

這和現(xiàn)在大家常提的Scaling Law幾乎一致：

在合理的范圍內，通過簡單地增加模型參數(shù)量（N）、訓練數(shù)據量（D）和計算量（FLOPS，C），可以以一種可預測的、平滑的方式顯著提升模型性能。

而1993年的這篇論文來頭也不小，作者一共5位，其中包含了支持向量機的提出者Vladimir Vapnik和Corinna Cortes。

為省算力提出預測曲線

這篇論文的研究初衷是為了節(jié)省訓練分類器（classifiers）的計算資源（果然啥時候都缺算力）。

當時的機器學習算法能實現(xiàn)將輸入數(shù)據分配到某個類別里，比如輸入一張手寫數(shù)字的像素點，判斷它是不是某一個數(shù)組。

為了讓分類器更可靠，往往需要使用大規(guī)模數(shù)據庫訓練。但是研究人員并不確定分類器是否適合給定任務，因此開發(fā)高效的預測程序非常有必要。

這項研究就是提出了一種預測方法，先在中等規(guī)模的數(shù)據集上訓練，然后通過提出的學習曲線建模外推，預測其在大數(shù)據集上的表現(xiàn)。這樣就不用對分類器進行完整訓練，從而節(jié)省計算資源。

它首先在幾個中等規(guī)模訓練集上分別計算測試誤差、訓練誤差，然后他們發(fā)現(xiàn)，隨著訓練集的規(guī)模變大，訓練誤差和測試誤差都會收斂到一個相同的漸近值a，這個指數(shù)a在0.5-1之間。

• a：漸近誤差（最終無法消除的誤差，比如任務不可實現(xiàn)性導致的殘余錯誤）。
• b,c：幅度參數(shù)。
• α：收斂速率指數(shù)（通常在 0.5~1 之間）

然后變換為對數(shù)線性關系，在對數(shù)坐標下得到兩條直線。

通過擬合這兩條直線能得到a,b,α。

將估計出的冪律曲線外推到更大的訓練集規(guī)模上（比如60000），預測分類器在完整數(shù)據上的誤差。

實驗結果表明，在線性分類器（布爾分類任務）中預測非常準確。

在多層神經網絡（如LeNet）中，即便在任務不可實現(xiàn)（non-realizable）的情況下，外推結果也能很好地預測大規(guī)模訓練的最終表現(xiàn)。

比如僅用12000樣本訓練，就能預測新CNN在60000樣本上會優(yōu)于舊CNN。

此外作者還發(fā)現(xiàn)，任務越困難，漸近誤差越高，收斂速率越小，即學習越慢。

這個理論放在當時可以用來淘汰差的模型，將有限的計算資源放在更值得訓練的模型上。

作者也是支持向量機提出者

最后不得不提一下這篇研究的幾位作者。

首先來看Vladimir Vapnik，他因在統(tǒng)計學習理論和支持向量機方面的貢獻而聞名。

他于1958年在烏茲別克國立大學獲得數(shù)學碩士學位，并于1964年在莫斯科控制科學研究所獲得統(tǒng)計學博士學位。1961年至1990年期間，他一直在該研究所工作，并擔任計算機科學研究部門的負責人。

Vapnik與Alexey Chervonenkis在1960年至1990年間共同開發(fā)了Vapnik-Chervonenkis理論（也稱為VC理論）。該理論是計算學習理論的一種形式，旨在從統(tǒng)計學角度解釋學習過程。

它是統(tǒng)計學習理論的基石，為學習算法的泛化條件提供了理論基礎，并量化了模型的復雜性（通過VC維）。VC理論在無需定義任何先驗分布的情況下，為機器學習提供了一種更通用的方法，與貝葉斯理論形成了對比。

同時Vapnik也是支持向量機（SVM）的主要發(fā)明者。這是一種監(jiān)督學習模型，用于數(shù)據分類和回歸分析。1964年，Vapnik和Chervonenkis首次提出了原始的SVM算法。

1990年代，Vapnik加入貝爾實驗室開始進行機器學習方面的深入研究。在1992年他和Bernhard Boser、Isabelle Guyon提出了通過應用“核技巧”（kernel trick）來創(chuàng)建非線性分類器的方法，極大地擴展了SVM的應用范圍，使其能夠處理非線性可分問題。

1995年Vapnik和Corinna Cortes提出了軟邊距的非線性SVM并將其應用于手寫字符識別問題，因為性能表現(xiàn)出色，這篇論文引發(fā)廣泛關注，也成為機器學習發(fā)展中的一塊重要基石。

他撰寫的《統(tǒng)計學理論的本質》也是機器學習領域的必讀著作之一。

以及他2014年還給Facebook當過顧問。

另一位重要作者是Corinna Cortes。她現(xiàn)在是Google Research紐約分部的副總裁，負責廣泛的理論和應用大規(guī)模機器學習問題研究。

她于1989年在哥本哈根大學尼爾斯·玻爾研究所獲得物理學碩士學位。隨后，她于1993年在羅切斯特大學獲得計算機科學博士學位。

在加入Google之前，Cortes在貝爾實驗室工作了十多年。

2022年她被任命為ACM Fellow，以表彰她對機器學習領域的貢獻。

其余幾位作者分別是：L. D. Jackel、Sara A. Solla和John S. Denker

其中John S. Denker還和LeCun在手寫識別上合作過多篇論文，也都是機器學習經典大作了。

而他本人也相當全能，涉獵領域包括機器學習、系統(tǒng)安全、好萊塢特效、電子游戲和視頻游戲等，完成了很多開創(chuàng)性工作。還曾在加州理工學院創(chuàng)建并教授“微處理器設計”課程（硅谷之所以成為硅谷，和當時美國高校中開始推行芯片設計課程有很大關系）。

甚至，他還是一個飛行員，是FFA的航空安全顧問，并寫了一本對飛行原理解釋透徹的行業(yè)教科書。

Denker還曾于1986-87年擔任加州大學圣巴巴拉分校理論物理研究所的訪問教授。 他以幽默感和“原型瘋狂科學家”的形象而聞名，他的一些事跡甚至在一些電影中有所體現(xiàn)。

One More Thing

值得一提的是，卷積神經網絡和支持向量機都誕生于貝爾實驗室。它們之間過一段“分庭抗禮”的時期。

在深度學習興起之前，CNN因為“黑盒”以及需要大規(guī)模訓練，一些研究者對其持有保留態(tài)度；相比之下支持向量機的理論清晰、易于收斂到全局最優(yōu)解。到底誰是正確路線？一時爭論不休。

1995年，Vapnik還和當時的上司Larry Jackel以一頓豪華晚餐打賭，到2000年時，人們能不能解釋清楚大型神經網絡為什么在大規(guī)模訓練中表現(xiàn)很好？

Vapnik覺得不能。2000年他贏了；隨后他們又賭，再過5年結果如何？這一次Vapnik錯了：

在2005年任何頭腦清醒的人都不會再用和1995年時完全相同的模型了。

這場賭局，LeCun是見證人。

論文地址：
https://proceedings.neurips.cc/paper/1993/file/1aa48fc4880bb0c9b8a3bf979d3b917e-Paper.pdf

[1]https://x.com/gdb/status/1962594235263427045
[2]https://yorko.github.io/2022/vapnik-jackel-bet/