撰文 | 烏其多

審校 | Cloud

2006年，有人在網(wǎng)上分享了一個(gè)位于英國(guó)多塞特郡多切斯特郊外， B3159 公路旁非常讓人困惑的路牌，該標(biāo)志為紅色背景的矩形，上面寫(xiě)著：“標(biāo)志未使用”。

（圖片來(lái)源：indiatimes）

隨后，越來(lái)越多的人發(fā)現(xiàn)這個(gè)路牌在英國(guó)隨處可見(jiàn)，甚至還在網(wǎng)上售賣(mài)。

（圖片來(lái)源：indiatimes）

所以，這個(gè)路牌到底奇怪在哪？

再讀一遍牌子上的字：“標(biāo)志未使用”。你可能就發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題所在：

標(biāo)示說(shuō)自己未使用，但實(shí)際上卻杵在路邊兢兢業(yè)業(yè)履行提示職責(zé)——那么，它到底是在使用、還是不在使用中呢？于是，悖論出現(xiàn)了。

該悖論的淺層原因解釋如下：

當(dāng)我們把眼光移向另外一個(gè)牌子：“Crossing not in use”（通道未在使用中），我們會(huì)覺(jué)得非常明了，完全不會(huì)引起歧義，因?yàn)槁放七@個(gè)“符號(hào)”明確指向了一個(gè)未在這句話里存在過(guò)的“通道”。

而“Sign not in use”的問(wèn)題在于，符號(hào)試圖對(duì)自身狀態(tài)進(jìn)行描述，這就違背了符號(hào)學(xué)要義：符號(hào)之所以被需要，恰恰是因?yàn)樗慕忉屢饬x尚未在場(chǎng)，也就是說(shuō)，符號(hào)是不能描述自己的，否則會(huì)引發(fā)邏輯困境，專(zhuān)業(yè)的說(shuō)法叫做“自我指涉”。

一幅表現(xiàn)自我指涉的著名畫(huà)作《手畫(huà)手》，埃舍爾作

“自我指涉”問(wèn)題在符號(hào)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)中乃至我們?nèi)粘ＵJ(rèn)知中存在非常廣泛，比如你可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)“理發(fā)師悖論”和“說(shuō)謊者悖論”：

說(shuō)謊者悖論——我現(xiàn)在說(shuō)的這句話是謊話。

若假設(shè)其為真，則可推出其為假；若假設(shè)其為假，則可推出其為真。由此構(gòu)成一個(gè)無(wú)法成立的矛盾循環(huán)。

理發(fā)師悖論——一位理發(fā)師說(shuō)自己只給村子所有不能自己理發(fā)的人理發(fā)，那么，他能不能給自己理發(fā)呢？

如果他給自己理發(fā)，那么按照他的聲明，他就不應(yīng)該給自己理發(fā)；如果他不給自己理發(fā)，那么他就屬于“不給自己理發(fā)的人”，按照聲明，他又應(yīng)該給自己理發(fā)。無(wú)論怎樣都會(huì)導(dǎo)致矛盾。

（圖片來(lái)源：Rynoir）

無(wú)論是在哲學(xué)、語(yǔ)言學(xué)或者日常生活里，自我指涉導(dǎo)致的一些悖論，對(duì)我們基本產(chǎn)生不了太嚴(yán)重的影響。對(duì)于這些悖論的深挖結(jié)果最終就是規(guī)避或者糾錯(cuò)，比如說(shuō)上面那個(gè)“Sign not in use”路牌，經(jīng)過(guò)網(wǎng)友深挖，最終確認(rèn)這其實(shí)是個(gè)因?yàn)閿⒁饽：鸬腻e(cuò)誤，它原本應(yīng)該代表著“前方路牌未在使用中”的意思。

但問(wèn)題是，當(dāng)自我指涉悖論出現(xiàn)在數(shù)學(xué)中時(shí)，情況就完全不一樣了，它甚至撼動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，永遠(yuǎn)改變了人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。

另一幅表現(xiàn)自我指涉的畫(huà)作《上升與下降》，埃舍爾作

對(duì)數(shù)學(xué)大廈的精準(zhǔn)爆破

在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們正致力于一個(gè)宏偉的目標(biāo)：為整個(gè)數(shù)學(xué)建立一個(gè)絕對(duì)嚴(yán)格、無(wú)矛盾的基礎(chǔ)。這個(gè)基礎(chǔ)就是集合論。

為啥是集合論？因?yàn)閿?shù)學(xué)中的每個(gè)概念（比如整數(shù)或者圓）都是用簡(jiǎn)單的概念來(lái)定義的。在某種程度上，這個(gè)過(guò)程必然會(huì)“觸底”，我們會(huì)得到數(shù)學(xué)中最基本的一個(gè)概念，它是其他概念之源，這個(gè)概念就是集合。

集合論被廣泛認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)（圖片來(lái)源：discover.hubpages）

當(dāng)時(shí)的主流思想（以德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特為代表）認(rèn)為，我們可以從幾條簡(jiǎn)單明確的集合論公理出發(fā)，像搭積木一樣，通過(guò)純粹的邏輯推理，構(gòu)建出全部數(shù)學(xué)。

如果這個(gè)計(jì)劃成功，數(shù)學(xué)將成為一門(mén)絕對(duì)真理的學(xué)科，其中所有命題要么為真，要么為假，不存在矛盾。

就在這個(gè)夢(mèng)想即將實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，伯特蘭·羅素在1901年針對(duì)集合論提出了一個(gè)非常簡(jiǎn)單卻致命的悖論，也就是“羅素悖論”。

英國(guó)邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素（圖片來(lái)源：medium）

羅素悖論的描述是：

“由所有不包含自身的集合所組成的集合，這個(gè)集合是否包含自身呢？”

如果它屬于自身，按照定義，它就不應(yīng)該屬于自身，因?yàn)樗脑厥悄切┎粚儆谧陨淼募希豢梢撬粚儆谧陨?，那又符合它的元素條件，似乎又應(yīng)該屬于自身了。

可能你也看出來(lái)了，羅素悖論和前文的理發(fā)師悖論核心結(jié)構(gòu)是一模一樣的。

羅素悖論（圖片來(lái)源：Rynoir）

這個(gè)看似抽象的悖論揭示了作為數(shù)學(xué)根基的集合論內(nèi)部存在著根本性的邏輯矛盾。它像一顆精準(zhǔn)的炸彈，炸毀了數(shù)學(xué)家們正在建造的“數(shù)學(xué)大廈”的地基，使當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家“陷入了絕境”。

永遠(yuǎn)改變數(shù)學(xué)界

自古希臘以來(lái)，數(shù)學(xué)家一直相信一個(gè)基本原則：如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題為真，那么它應(yīng)當(dāng)能夠從公理出發(fā)通過(guò)邏輯推理得到證明。

然而，羅素悖論的提出迫使數(shù)學(xué)界重新審視并修正數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——包括定義、公理與推理方法本身。盡管提出了多種解決方案（例如羅素本人的類(lèi)型論），但這些方法大多試圖規(guī)避而非根本消除悖論。

直至1931年，哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?/strong>的提出永遠(yuǎn)改變了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)圖景。這一里程碑式的成果，為自我指涉悖論所帶來(lái)的基礎(chǔ)危機(jī)劃上了一個(gè)決定性的、卻也略帶遺憾的句點(diǎn)。

奧地利裔美國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家哥德?tīng)栕C明了兩個(gè)定理：

第一不完備定理：如果一個(gè)形式系統(tǒng)是一致的（即不存在矛盾），那么它必然是不完備的——也就是說(shuō)，系統(tǒng)中存在一些為真的命題，但它們既不能被證明，也不能被證偽。

第二不完備定理：這樣的系統(tǒng)無(wú)法在自身內(nèi)部證明其一致性。

（圖片來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)）

這意味著，在足夠復(fù)雜的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，總存在一些我們能夠理解其為真，但卻無(wú)法用系統(tǒng)內(nèi)的規(guī)則來(lái)證明的命題。即便一次次地對(duì)數(shù)學(xué)大廈進(jìn)行修補(bǔ)與重建，這種本質(zhì)上的不確定性仍會(huì)以不同的形式再度出現(xiàn)。

悖論無(wú)處不在

除了數(shù)學(xué)外，自我指涉在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域也是一個(gè)不可逾越的根本性問(wèn)題——大名鼎鼎的“圖靈停機(jī)”也正是另外一個(gè)“說(shuō)謊者悖論”。

甚至有人反復(fù)論證，這種奇怪的循環(huán)就是理解意識(shí)如何從無(wú)生命的物質(zhì)中產(chǎn)生的關(guān)鍵。

比如說(shuō)美國(guó)文理科學(xué)院院士、著名認(rèn)知科學(xué)家侯世達(dá)就認(rèn)為：自我指涉也是人類(lèi)意識(shí)的本質(zhì)來(lái)源，認(rèn)為大腦中“浮現(xiàn)”出來(lái)的現(xiàn)象，例如想法、希望、意識(shí)和自由意志都根源于這種自指怪圈，是不同層次之間的一種自我強(qiáng)化的“共鳴”。

參考資料

[1]https://www.indiatimes.com/trending/wtf/sign-not-in-use-meaning-607332.html

[2]https://www.ladbible.com/news/road-sign-not-in-use-what-does-it-mean-421949-20230626

[3]https://www.phd.tuebingen.mpg.de/77594/ping-hsueh

[4]https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/52674487

[5]侯世達(dá)（美）,《哥德?tīng)?、埃舍爾、巴赫——集異壁之大成?/strong>

[6]陳波,《邏輯學(xué)是什么》,北京大學(xué)出版社

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