在每個人的成長過程中，數(shù)學(xué)始終伴隨我們左右。從最初的牙牙學(xué)語，到后來的學(xué)校教育，我們都在與數(shù)學(xué)這個學(xué)科緊密接觸。

起始階段，家長們常常向我們灌輸?shù)氖?、2、3、4這些基礎(chǔ)數(shù)字。隨著我們步入幼兒園，簡單的加減運算開始融入我們的生活。

如果從歷史長河的角度來看，數(shù)學(xué)的演進似乎也經(jīng)歷了類似的過程。最先萌芽的，是計數(shù)的概念，如古人用結(jié)繩記事來記錄數(shù)量，都是從自然數(shù)開始的。

在早期人類的思想里，自然數(shù)仿佛是最純凈的數(shù)字體系，它們與自然界的種種現(xiàn)象有著最直接的聯(lián)系。

然而，隨著對世界的認(rèn)知加深，人們意識到自然數(shù)已經(jīng)不足以描繪我們周遭的世界。比方說，若要將一個蘋果平分給兩個人，每人得到半個蘋果，那半個蘋果該如何用數(shù)字表示呢？

于是，分?jǐn)?shù)或小數(shù)的概念應(yīng)運而生，人們對數(shù)學(xué)的理解又推進了一步。

在數(shù)學(xué)研究的深入過程中，人們察覺到數(shù)學(xué)的簡潔和優(yōu)美，相信它能闡釋自然界的任何現(xiàn)象。

但是，一個突如其來的發(fā)現(xiàn)，徹底顛覆了人們之前的認(rèn)知。

當(dāng)研究到等腰直角三角形時，人們發(fā)現(xiàn)了一個不尋常的情形：當(dāng)兩個直角邊長均為1時，斜邊的長度——根號2——是個無限不循環(huán)的小數(shù)。無論用何種方式計算，它都似乎永無止境。

更加讓數(shù)學(xué)家們焦慮不安的是，根號2不僅是無限的，它還毫無規(guī)律可言。它不像1/3那樣雖長，但至少可以通過分?jǐn)?shù)清晰地表示。

這是第一次，人們對于自然數(shù)的簡潔性提出了質(zhì)疑。而且，人們還發(fā)現(xiàn)，像根號2這樣的無理數(shù)在數(shù)學(xué)世界中并不罕見，它們似乎比有理數(shù)還要多。

人們開始認(rèn)真探究無理數(shù)背后的秘密，覺得其中一定隱藏著更多深奧的數(shù)學(xué)真理。

而在此過程中，數(shù)學(xué)領(lǐng)域迎來了首次危機，最典型的例子便是芝諾的悖論。

簡明扼要地講，這個悖論是關(guān)于你和一只烏龜賽跑的故事。烏龜在你前方100米處起跑，而你的速度是烏龜?shù)氖?。你跑?00米時（烏龜起始位置），烏龜已經(jīng)跑了10米。當(dāng)你跑完這10米時，烏龜又前進了1米。以此類推，你永遠(yuǎn)在烏龜?shù)那懊嬉欢尉嚯x。由此推斷，你永遠(yuǎn)無法追上烏龜。

但現(xiàn)實情況是，你很快就可以趕上烏龜，只要你速度比它快，不管一開始烏龜領(lǐng)先多少，你總能追上并超過它。

這引發(fā)了人們對無窮的思考。人們意識到，盡管空間可以無限劃分，但你擁有的時間是有限的，你無法在有限的時間內(nèi)完成無限多的事情，因此不會陷入芝諾悖論的困境。

就如1+1/2+1/4+1/8……這個無窮級數(shù)，其和并不會無限大，而是一個有限的數(shù)。

對無窮的正確理解，使得人們成功地化解了第二次數(shù)學(xué)危機。

第二次數(shù)學(xué)危機，用通俗的話來講，就是0.999……和1是否相等的問題。早期人們普遍認(rèn)為，0.999……始終小于1，因為它的循環(huán)小數(shù)永遠(yuǎn)無法觸及到1。

然而后來，人們意識到0.999……實際上等于1，它們代表的是同一個數(shù)。

實際上，第二次數(shù)學(xué)危機的核心還是關(guān)于微積分的理解問題。

直到今天，仍有很多人沒有學(xué)過微積分，未能掌握微積分的實質(zhì)，依舊認(rèn)為0.999……小于1。

第三次數(shù)學(xué)危機則被稱為集合論悖論，最為人知的例子是“羅素悖論”。假設(shè)有一個理發(fā)師，他的店門口掛著“能為所有不能給自己理發(fā)的人理發(fā)”的招牌。那么問題來了：這位理發(fā)師能否給自己理發(fā)？

如果他能，則招牌上所言不實。如果他不能，招牌同樣存在問題：因為理發(fā)師無法給自己理發(fā)，但招牌上卻稱“能為所有不能給自己理發(fā)的人理發(fā)”。

有人認(rèn)為“羅素悖論”其實是邏輯上的詭辯，是集合定義上的混亂。無論如何，沒人能對它做出完美的解釋。

還有一種通俗解釋：上帝是否能創(chuàng)造出一塊他自己搬不動的石頭？無論答案是能或不能，都存在邏輯上的矛盾。

從概念上講，與其說羅素悖論是集合上的悖論，不如說它是哲學(xué)上的一個概念，一種本體論。

這個悖論總是試圖將自身置身事外，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)它自己也處在某個事物的范疇之內(nèi)。所以最核心的問題是：是否真的有“處于事物之中”這個概念？

這其實也是唯心主義的一種體現(xiàn)。如果整個世界只是你主觀幻想的假象，那么“你”本身是否也是一種假象？

如果答案是肯定的，那么，你對“世界是假象”的質(zhì)疑是否也是一種假象？

如此循環(huán)下去，就會陷入思維的死胡同，無法自拔！