時(shí)令 發(fā)自 凹非寺
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11歲學(xué)會微積分，14歲具備大學(xué)水平的數(shù)學(xué)能力，17歲推翻40年前數(shù)學(xué)猜想。

如今雖未高中畢業(yè)，卻已獲得馬里蘭大學(xué)博士的錄取資格。

在北大校友張瑞祥老師的指導(dǎo)下，漢娜·凱羅不斷突破極限。

今年2月份，年僅17歲的漢娜推翻Mizohata-Takeuchi猜想，震驚數(shù)學(xué)界。

Mizohata-Takeuchi猜想，誕生于上世紀(jì)80年代，是連接調(diào)和分析、偏微分方程和幾何分析的核心橋梁。

如果它被推翻，幾十年來關(guān)于傅里葉限制、PDE良性等核心問題的思考，也要重新更改思路。

這簡直是給整個學(xué)術(shù)界扔下一枚“重磅炸彈”！

怪不得數(shù)學(xué)家們接連感嘆：

• 哇！這可是我近40年最喜歡的問題，而這個結(jié)果讓我徹底震撼。
• 當(dāng)我得知漢娜的年齡比我原先以為的還要小得多時(shí)，我更加驚訝。她寫這篇論文的程度，簡直非同凡響。
• 我可以肯定，從現(xiàn)在開始，每當(dāng)我們遇到類似類型的問題時(shí)，都會嘗試用“漢娜式構(gòu)造”來檢驗(yàn)它。

漢娜徹底火了，關(guān)于她如何解決這一猜想的更多故事細(xì)節(jié)也逐漸曝光。

數(shù)學(xué)，帶她穿越孤獨(dú)，走向廣闊世界

漢娜在巴哈馬的首都拿騷長大，和她的兩個兄弟一樣，在家接受教育。

她最初接觸數(shù)學(xué)，是通過可汗學(xué)院的在線課程，沒過多久便完成了全部課程。11歲時(shí)，她已經(jīng)學(xué)會了微積分。

很快，現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)課程已無法滿足她的學(xué)習(xí)需求。

父母為此給她找了兩位數(shù)學(xué)教授進(jìn)行遠(yuǎn)程輔導(dǎo)，先是韋爾斯利學(xué)院的Martin Magid，后是克拉克大學(xué)的Amir Aazami。

雖然有老師指導(dǎo)，但她的大部分學(xué)習(xí)內(nèi)容都是自學(xué)的，自己閱讀和消化了導(dǎo)師推薦的研究生數(shù)學(xué)教科書。

因此，Amir Aazami老師對收她的學(xué)費(fèi)感到不好意思，因?yàn)樗X著沒有真正教漢娜，大多數(shù)時(shí)間都是她自己閱讀書籍并嘗試證明定理。

但漢娜很快發(fā)現(xiàn)，在家上學(xué)讓她感到束縛。

• 那種日子總是千篇一律，無法逃脫。不管我做什么，幾乎都是在同一個地方，重復(fù)著相似的事情。我感到非常孤獨(dú)，無論做什么都無法改變這種狀況。

這時(shí)，數(shù)學(xué)成了她的精神寄托，為她在日常生活中打開一片廣闊天地。

她欣喜地的說道：

• 數(shù)學(xué)是我可以探索的另一個世界，一個不受限制的世界，一個我只要思考就可以隨時(shí)進(jìn)入的世界。

正是這種將數(shù)學(xué)視為可供探索的思想空間，讓她以不同于常人的方式看待數(shù)學(xué)。

2021年，新冠疫情改變了許多人的生活節(jié)奏，也意外地拓寬了漢娜的世界。

由于旅行限制，她和家人被迫滯留在芝加哥祖父母家中。

正是在那段時(shí)間里，她接觸到了芝加哥數(shù)學(xué)圈——一個由學(xué)生和導(dǎo)師組成的社區(qū)，大家聚在一起，一同思考和攻克數(shù)學(xué)難題。

這次經(jīng)歷激發(fā)出她更深入地探索數(shù)學(xué)的渴望。次年，她申請了由伯克利數(shù)學(xué)圈舉辦的為期兩周的在線暑期課程。值得一提的是，這個項(xiàng)目被認(rèn)為是全球最頂尖數(shù)學(xué)苗子的搖籃。

在申請材料中，她詳細(xì)列出了一整套自學(xué)課程，涵蓋內(nèi)容之廣，已經(jīng)相當(dāng)于一個高級本科學(xué)位的水平。

那一年，她僅14歲。

伯克利數(shù)學(xué)家、伯克利數(shù)學(xué)圈創(chuàng)始人Zvezdelina Stankova贊賞道：

• 漢娜簡直超乎尋常。每次她申請學(xué)?；蝽?xiàng)目時(shí)，都已經(jīng)遙遙領(lǐng)先好幾個層次。

然而這些經(jīng)歷并未讓漢娜認(rèn)定自己在數(shù)學(xué)方面有多么出眾的天賦。

她性格溫和、待人謙遜，對于自己的能力如何與他人相比似乎始終抱有疑問。

某種程度上，是因?yàn)槎嗄陙?，她只能以自己為參照對象?/p>

• 小時(shí)候，我并不確定自己是不是有天賦。
• 我喜歡彈鋼琴，身邊的人也常說我在數(shù)學(xué)和鋼琴方面都很有才華?，F(xiàn)在回過頭來看，我確實(shí)覺得自己的鋼琴水平高于平均，但稱不上真正的優(yōu)秀。至于數(shù)學(xué)嘛，好像……就那樣吧。

一份華人教授留的家庭作業(yè)，開啟破解猜想的大門

2023年，在伯克利數(shù)學(xué)圈度過了第二個夏天后，漢娜開始思考她的下一步該做什么。

她申請了幾所大學(xué)，盡管大多數(shù)學(xué)校以她尚未完成高中學(xué)業(yè)為由婉拒了她，但加州大學(xué)戴維斯分校向她拋來了橄欖枝。

是要提前三年開始大學(xué)生活？還是要在其他地方尋找機(jī)會？

這時(shí)，Stankova鼓勵她參加伯克利的并行注冊項(xiàng)目。通過這個項(xiàng)目，她可以直接修讀由頂尖學(xué)者開設(shè)的研究生數(shù)學(xué)課程。

漢娜采納了這個建議。

2023年秋天，她的家人搬到了距離伯克利約60英里外的戴維斯。在那里，她的哥哥就讀于加州大學(xué)戴維斯分校，父母則允許她每周二和周四前往伯克利上課。

不久后，她的學(xué)習(xí)節(jié)奏明顯加快。到了春季，她已經(jīng)每周通勤五天，同時(shí)選修了更多課程。

回憶那段時(shí)光，她說，“那是她生命中開始感到充滿無限可能的時(shí)期?！?/p>

• 我開始交到朋友，心情也越來越好。

春季學(xué)期結(jié)束后，她的家人從戴維斯搬到了伯克利——她的哥哥決定轉(zhuǎn)學(xué)到那里。

而對漢娜來說，這次搬家也意味著她終于可以真正安定下來，融入這座她心之向往的學(xué)術(shù)之城。

盡管如此，這一切對她來說依然是個適應(yīng)過程。

她坦言道，“我之前沒有太多社交經(jīng)驗(yàn)，所以還得學(xué)著如何與別人相處?！?/p>

隨著2024-2025學(xué)年的臨近，漢娜開始思考自己將選修哪些課程。

其中有一門課尤其吸引了她——傅里葉限制理論研究生課程，這是一門屬于調(diào)和分析領(lǐng)域的高級課程。

她說，“這是那學(xué)期開設(shè)的最頂尖的分析課程之一，我想，干脆就去試試吧?！?/p>

這門課程的教授是張瑞祥，一位成就卓著的數(shù)學(xué)家。

2008年，他獲得了國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌；隨后，取得了普林斯頓大學(xué)的博士學(xué)位；之后在高等研究院完成了博士后研究；如今，他在世界頂尖的伯克利大學(xué)數(shù)學(xué)系擔(dān)任終身教職。

一份家庭作業(yè)推翻40年前數(shù)學(xué)猜想

漢娜給張教授發(fā)了一封郵件，表達(dá)了自己想報(bào)名這門課程的愿望?！皾h娜非常專注，對這個課題充滿熱情，”張教授回憶道，“光憑這一點(diǎn)，我就決定批準(zhǔn)她的申請?！?/p>

幾周后，在做作業(yè)中的一道習(xí)題時(shí)，漢娜遇到了一個令她無法停止思考的問題。

這個問題是Mizohata-Takeuchi猜想的簡化版本。張教授將其作為熱身題放在作業(yè)里，希望鼓勵學(xué)生們在這一深奧數(shù)學(xué)領(lǐng)域練習(xí)高級技巧。

作業(yè)中還附帶了一個選做的拓展題，邀請學(xué)生們思考能否將簡化版的證明推廣到更復(fù)雜的問題。

漢娜完成了這份習(xí)題，并繼續(xù)深入思考下去。對她來說，沿著一個想法一直探索到底，是再自然不過的事了。

Mizohata-Takeuchi猜想屬于調(diào)和分析領(lǐng)域，該領(lǐng)域?qū)Ｗ⒂谘芯亢瘮?shù)如何由波動成分構(gòu)成。

具體而言，任何函數(shù)都可以拆解成一系列更簡單的波形，這些波形稱為正弦波。每一個正弦波都有對應(yīng)的頻率。數(shù)學(xué)家們常常希望理解那些僅由特定頻率的正弦波構(gòu)成的函數(shù)的性質(zhì)。

在這種情況下，允許出現(xiàn)的頻率必須滿足一定的方程，從而限定在特定的曲面上，比如球面。

這是因?yàn)樵S多物理波動（如光波、聲波以及量子波）的函數(shù)，其頻率都被限制在這類特定的曲面范圍內(nèi)。

簡單來說，這就像是在一個形狀奇特的房間里演奏音樂。有時(shí)候，音樂會在房間的某些角落回響、放大，聲音變得非常響亮。但這種現(xiàn)象只能出現(xiàn)在特定的位置，而不會在房間的每個角落發(fā)生。

幾十年來，數(shù)學(xué)家們僅在Mizohata-Takeuchi猜想的幾個特殊情況下取得了有限的進(jìn)展，而整體問題始終未被攻克。所有常見的數(shù)學(xué)工具似乎都無能為力。

這種“不可觸碰”的狀態(tài)，讓一些數(shù)學(xué)家懷疑這個猜想根本不成立，但也有人覺得，正因?yàn)樗愂龅萌绱撕啙崳炊锌赡苁钦娴摹?/p>

愛丁堡大學(xué)的數(shù)學(xué)家Tony Carbery回憶道，他花了幾十年研究這個問題。

• 有些早上，我醒來時(shí)會覺得，它那么簡潔、那么廣泛，到最后一定是真的。但也有些早上，我醒來時(shí)會說……它根本不可能以任何簡單方式成立。

在尋找這個難題證明的路上，數(shù)學(xué)家們陷入了僵局。

他們懷疑自己的方法，懷疑直覺，懷疑當(dāng)下看似有希望的想法是否真的能走到底。

對于漢娜來說，這些懷疑更是被放大了。她是該領(lǐng)域的新人，最初試圖證明整個猜想的努力，往往只是一些零碎、尚不成熟的嘗試。

她不確定自己是否走在正確的道路上，張教授也有同樣的疑慮。

漢娜在答疑時(shí)間問他：“這些思路行得通嗎？”結(jié)果張教授告訴她，“不行，因?yàn)樘煺媪??！?/p>

• 我不斷地去找他，帶著新的想法問他：“這個可以嗎？”他又會說：“不行?！?/li>

盡管如此，漢娜沒有停下腳步，她繼續(xù)閱讀文獻(xiàn)、不斷思考。

最終，她找到了一個辦法，構(gòu)造出一個奇怪而復(fù)雜的函數(shù)，這個函數(shù)由一些頻率落在特定曲面上的波組成，正是猜想所描述的那類曲面。

通常來說，把這類波疊加起來，它們會互相干擾——有些地方相互抵消，有些地方相互增強(qiáng)。

但漢娜發(fā)現(xiàn)，在她構(gòu)造的函數(shù)中，這些波并沒有如預(yù)期那樣互相抵消。相反，它們的干涉產(chǎn)生了不均勻的圖案，使得函數(shù)的能量在一些區(qū)域擴(kuò)散，而在另一些區(qū)域聚集，呈現(xiàn)出一種分形式的結(jié)構(gòu)——而這恰恰是Mizohata-Takeuchi猜想所禁止的現(xiàn)象。

起初，她并不確信。她說，“這種情況我經(jīng)常遇到，我以為自己找到了一種證明，看起來像是對的，但后來會發(fā)現(xiàn)其實(shí)是錯的?！?/p>

但接下來，兩件事改變了一切。

首先，她意識到，可以用一個更簡單的構(gòu)造替代原來的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，依然得到相同的結(jié)論。

其次，她終于說服了自己，也說服了張教授：這個結(jié)果是對的。

在完成那個長達(dá)40年無人攻克的猜想后，她做出了一個大膽的決定——直接申請博士，跳過本科，甚至沒有高中文憑。

在她看來，自己早已過著類似研究生的生活，進(jìn)入博士階段只是順理成章的下一步。

她一共申請了10個博士項(xiàng)目，其中，6所學(xué)校因她沒有本科學(xué)歷直接拒絕了她，另外兩所雖然錄取了她，但最終被校方高層否決。

只有馬里蘭大學(xué)和約翰斯·霍普金斯大學(xué)愿意破格錄取她，直接進(jìn)入博士階段學(xué)習(xí)。

今年秋天，漢娜將正式在馬里蘭大學(xué)開始她的博士之旅。

而當(dāng)她畢業(yè)時(shí)，這將是她人生中的第一個正式學(xué)位——博士學(xué)位。

參考鏈接：https://www.quantamagazine.org/at-17-hannah-cairo-solved-a-major-math-mystery-20250801/