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No.340

圓周率的推算

金 庸

梁羽生兄在《數(shù)學(xué)與邏輯》一文中，曾談到祖沖之的圓周率，說是全世界最早的精密。這在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)有趣的問題。

圓周與直徑的比例怎樣，這在實(shí)用上是常遇到的，我國(guó)最早的數(shù)學(xué)書是《周髀算經(jīng)》，其中稱“周三徑一”，即周率是三。據(jù)傳說，這是周初的商高計(jì)算出來的。如果傳說不錯(cuò)，那么這是公元前十二世紀(jì)的事了。

希臘人說，周率的應(yīng)用是始于公元前三世紀(jì)的大物理學(xué)家阿基米德，就是那位因洗澡而發(fā)現(xiàn)阿基米德定律的人。希臘人稱圓周率為“阿基米德值”。

阿基米德雕像

我國(guó)著名橋梁專家、設(shè)計(jì)建造錢塘江大橋的茅以升先生在《圓周率略史》中說：“西洋數(shù)學(xué)史多以為此率源于印度，而聲息相通之阿拉伯亦認(rèn)為印度所產(chǎn)。”

到底，粗疏的圓周率是哪一民族的人最先發(fā)現(xiàn)的？我想，三與一之比的周率，隨便用尺與繩子一量就量得出來。在實(shí)用上需用的時(shí)候，許多民族都會(huì)一量而依照這比率計(jì)算。所以，到底誰(shuí)最早發(fā)現(xiàn)，那是很難說的。至于精密的計(jì)算，則是較后的事。

我們說祖沖之最先計(jì)算出精密的圓周率，是根據(jù)《隋書·律歷志》中的記載。那上面說：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。又設(shè)開差冪，開差立，兼以正圓參之。指要精密，算氏之最者也。所著之書，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理。”

這一段話稍加說明，就極易清楚：

我國(guó)歷史上首先用數(shù)學(xué)方法推算圓周率的，是漢代的大學(xué)者劉歆（公元23年為王莽所殺），他的圓周率是3.1547。張衡（78—139）是我國(guó)著名的天文學(xué)家，他的周率是。劉徽（公元263年前后時(shí)人）用割圓術(shù)來推算，即圓內(nèi)畫一六邊形，逐漸增加邊數(shù)，這多邊形與圓會(huì)越來越接近，計(jì)算多邊形的邊，算到九十六邊形時(shí)，周率定為3.14。王蕃（228—266）是142/45=3.155。皮延宗（公元445年前后時(shí)人）的周率考查不出來。據(jù)李儼的《中國(guó)算學(xué)史》中說，在祖沖之之前，還有一位何承天（370—447），周率為22/7，即3.1428。這些周率都不精密。

祖沖之

祖沖之（429—500）是南北朝的劉宋時(shí)人，他算出的周率據(jù)《隋書》中說，是小于3.1415927而大于3.1415926，可定為3.14159265，精密地說，是355/113，約略地說，是22/7。西歐人算得這樣精密的，是一千多年以后（公元1573年）的德國(guó)人奧托，但他也只算到小數(shù)點(diǎn)后的六位。

祖沖之的兒子祖恒之，也是一位大數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)了計(jì)算圓球體面積與體積的公式。因?yàn)樗麄兊耐评矸椒ㄔ谀菚r(shí)是太精妙了，管理文化教育事宜的官吏根本不懂，于是“廢而不理”。

在各文化古國(guó)中，我國(guó)的數(shù)學(xué)是不算十分發(fā)達(dá)的。我國(guó)數(shù)學(xué)一直限制于實(shí)用，與實(shí)用無關(guān)的比較抽象的推理幾乎都不去接觸。最突出的貢獻(xiàn)，恐怕是這圓周率了。我在初中讀書時(shí)，教我數(shù)學(xué)的是章克標(biāo)先生。他因?qū)懶≌f而出名，為人很是滑稽，同學(xué)們經(jīng)常和他玩鬧而不大聽他講書。他曾寫過一部《數(shù)學(xué)的故事》，其中說到有一個(gè)歐洲青年花了極長(zhǎng)的時(shí)間，把圓周率推算到小數(shù)點(diǎn)后六百多位。這個(gè)圓周率，當(dāng)然是毫無實(shí)用價(jià)值的。

在寫小說《書劍恩仇錄》時(shí)，為了要多知道一些陳家洛的身世，我曾翻過一些關(guān)于他祖宗海寧陳氏的記載，發(fā)現(xiàn)有一位與他父親陳世倌同輩的陳世仁（1676—1722）。這位先生是康熙時(shí)翰林，竟是一位數(shù)學(xué)大家，著有《少?gòu)V補(bǔ)遺》一卷，對(duì)于“級(jí)數(shù)”頗有研究，發(fā)現(xiàn)了許多據(jù)說是前人從來沒有談過的公式。書中一直研究到奇數(shù)偶數(shù)平方立方的級(jí)數(shù)和等問題。

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