整數(shù)結(jié)構(gòu)空間

作者：李鐵鋼

摘要：本文采用了一種基礎(chǔ)而直接的方法，初步探索并研究了正整數(shù)中的一部分規(guī)律性。通過運(yùn)用無限數(shù)量的等差數(shù)列組合，構(gòu)建了一個(gè)“整數(shù)結(jié)構(gòu)空間”，從而形成了一套關(guān)于自然數(shù)規(guī)律探討的理論體系。此外，本文還對(duì)著名的哥德巴赫猜想提出了明確的證明方案。

關(guān)鍵詞：整數(shù)結(jié)構(gòu)空間的概念、合數(shù)項(xiàng)數(shù)列、合數(shù)項(xiàng)公式、素?cái)?shù)項(xiàng)公式、合數(shù)與素?cái)?shù)的判定方法、偶數(shù)與素?cái)?shù)之間的關(guān)聯(lián)。

引言

在這浩瀚無垠的宇宙之中，存在著兩種基礎(chǔ)且至關(guān)重要的元素，它們仿佛是房屋的骨架，支撐著整個(gè)宇宙的結(jié)構(gòu)。這兩種元素，一是數(shù)字，二是幾何圖形。自古以來，人類的智慧便開始探索和應(yīng)用數(shù)字與幾何圖形的規(guī)律，以及它們之間的相互關(guān)聯(lián)。

在公元前300年左右的歷史時(shí)期，一位杰出的古希臘數(shù)學(xué)家，歐幾里得，憑借其智慧和不懈努力，將前人積累的幾何知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)提升至理論高度，并撰寫了一部具有劃時(shí)代意義的著作——《幾何原本》。

正整數(shù)，作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)古老而基礎(chǔ)的概念，數(shù)千年的研究歷程一直吸引著無數(shù)學(xué)者的探索與討論。隨著時(shí)間的推移，對(duì)正整數(shù)的研究逐漸發(fā)展成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，即“數(shù)論”。即便如此，直至今日，我們尚未發(fā)現(xiàn)一個(gè)有效的工具，能夠運(yùn)用“初等的研究方法”來深入探究正整數(shù)的內(nèi)在規(guī)律。在過去的三百年間，世界級(jí)的數(shù)學(xué)家們對(duì)自然數(shù)進(jìn)行了深入且艱難的探索。盡管我們擁有數(shù)論這一古老的數(shù)學(xué)分支，它專門研究自然數(shù)的規(guī)律，但其研究方法要么過于基礎(chǔ)而缺乏方向，要么過于深?yuàn)W和復(fù)雜，導(dǎo)致許多問題對(duì)于普通人而言，難以學(xué)習(xí)和研究。數(shù)學(xué)家們至今未能發(fā)現(xiàn)所謂的素?cái)?shù)公式，也未能完全揭示素?cái)?shù)在正整數(shù)中的分布規(guī)律。

在此，我將介紹一種基礎(chǔ)方法，用以探索正整數(shù)內(nèi)在的規(guī)律性。這種方法便是“整數(shù)結(jié)構(gòu)空間”的概念及其定義，它將為我們開啟一個(gè)新的視角，去理解和探索正整數(shù)的奧秘。

1、整數(shù)結(jié)構(gòu)空間的概念及定義

為了便于研究問題，我們不再使用教科書中的等差數(shù)列標(biāo)準(zhǔn)形式，而是采用KN+A的形式來表示等差數(shù)列。只要K和N互質(zhì)，這樣的等差數(shù)列就被定義為“含素?cái)?shù)數(shù)列”，并且該數(shù)列包含的素?cái)?shù)數(shù)量是無限的，這一點(diǎn)無需證明。

在2002年，我發(fā)現(xiàn)了正整數(shù)中存在一種規(guī)律性現(xiàn)象：若干個(gè)等差數(shù)列可以組成一組，共同表示所有正整數(shù)。例如，3N+1、3N+2和3N+3這三個(gè)等差數(shù)列組合在一起，便能表示出1、2、3……直至無窮的全部正整數(shù)。

整數(shù)結(jié)構(gòu)空間的定義：所有的正整數(shù)1、2、3……可以被表示為若干個(gè)等差數(shù)列的集合。在這種表示方法中，每個(gè)正整數(shù)，無論是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都對(duì)應(yīng)一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)N。因此，素?cái)?shù)在數(shù)列中擁有了確定的位置，而不是隨機(jī)分布。

看下面的示意圖一，

在這個(gè)表格中，每一橫排的等差數(shù)列均能代表所有正整數(shù)，從1到無限。

2、整數(shù)空間N+1 的意義

正整數(shù)空間N+1，表格如如圖二，

因此，數(shù)列N+1涵蓋了所有正整數(shù)。同時(shí)，每個(gè)正整數(shù)無論是素?cái)?shù)還是合數(shù)都對(duì)應(yīng)著數(shù)列中的一個(gè)特定項(xiàng)數(shù)N。

在研究正整數(shù)的規(guī)律時(shí)，等差數(shù)列是一個(gè)極為有效的分析工具。關(guān)鍵在于，在啟動(dòng)此類研究之前，我們必須明確界定我們所探討的特定“整數(shù)范圍”。這是因?yàn)椴煌恼麛?shù)范圍可能會(huì)呈現(xiàn)出不同的規(guī)律和特性。只有當(dāng)我們明確了研究的整數(shù)范圍，等差數(shù)列才能發(fā)揮其真正的指導(dǎo)作用，并且能夠與現(xiàn)實(shí)世界的具體問題相聯(lián)系，從而具備實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。反之，如果我們忽視了這一前提，那么所討論的等差數(shù)列可能會(huì)變得雜亂無章，缺乏清晰的方向和特定的意義，最終導(dǎo)致研究結(jié)果無效，無法為現(xiàn)實(shí)世界的問題提供有意義的見解。

通過項(xiàng)數(shù)N，我們可以構(gòu)建出一個(gè)按順序排列的、數(shù)量無限的合數(shù)項(xiàng)數(shù)列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數(shù)項(xiàng)數(shù)列公式可以表示為Sn+K的形式。

其中，S代表一個(gè)素?cái)?shù)，n是系數(shù)，其取值范圍包括0、1、2等，而K表示合數(shù)首次出現(xiàn)的位置。

請(qǐng)注意，這里的“1n+0”中的“1”代表的是一個(gè)素?cái)?shù)。關(guān)于這個(gè)話題，我們目前不進(jìn)行深入探討。至于合數(shù)出現(xiàn)的周期性，它與前述的第一個(gè)素?cái)?shù)的數(shù)值是一致的。

現(xiàn)在，讓我們來觀察“3n+2”這一合數(shù)項(xiàng)數(shù)列。

當(dāng)n=0時(shí)，合數(shù)項(xiàng)數(shù)列“3n+2”等于2。請(qǐng)注意這里的“2”指的是項(xiàng)數(shù)，將其代入“n+1”數(shù)列中，我們得到3。隨后，數(shù)列中出現(xiàn)的合數(shù)都是以3為周期的，例如：6、9、12……

我們可以將正整數(shù)1、2、3……視為一個(gè)等差數(shù)列，但為何不直接稱之為“合數(shù)數(shù)列”，而是采用“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列”這一術(shù)語呢？

這是因?yàn)楫?dāng)我們引入一個(gè)新的項(xiàng)數(shù)N時(shí)，研究方法發(fā)生了根本性的變化。現(xiàn)在，我們關(guān)注的是“正整數(shù)空間”中的N+1維空間。

我們可以在數(shù)列N+1中定義一個(gè)“合數(shù)項(xiàng)”公式，即

Nh=a(b+1)+b （公式1）

這個(gè)公式必須與數(shù)列N+1的表格配合使用，否則它將是無效且無意義的。

在公式中，Nh代表合數(shù)項(xiàng)，而a和b都是項(xiàng)數(shù)，它們的取值范圍包括0、1、2、3等自然數(shù)。

例如，取a=1和b=5時(shí)，Nh=11，代入N+1的合數(shù)計(jì)算得11+1=12。

在取a=3和b=4時(shí)，Nh=19，對(duì)應(yīng)的N+1值為20。

我們擁有一個(gè)相對(duì)的素?cái)?shù)項(xiàng)公式，

Hs = N - Nh （公式 2）

當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)龐大的數(shù)字，如何判斷它是合數(shù)還是素?cái)?shù)呢？這里有一個(gè)簡(jiǎn)單的判定方法：

K=(N-b)/b+1 （公式3）

將數(shù)字N代入上述判定公式，如果方程存在整數(shù)解，則該數(shù)字為合數(shù)；若無解，則為素?cái)?shù)。顯然，對(duì)于極大的數(shù)字，手動(dòng)計(jì)算是不現(xiàn)實(shí)的，此時(shí)我們可以編寫程序借助計(jì)算機(jī)來完成這一任務(wù)。

這個(gè)公式我們稱它為判定式。

3、簡(jiǎn)單介紹幾個(gè)正整數(shù)空間

1）整數(shù) 4N+A （A=1、2、3、4）空間，如圖三，

4N+A數(shù)列構(gòu)成了一個(gè)空間，在這個(gè)空間中，素?cái)?shù)分布在4N+1、4N+3的數(shù)列中。該空間由兩個(gè)合數(shù)項(xiàng)公式構(gòu)成一組方程，但此處不再詳細(xì)闡述。

2）整數(shù)6N+A(A=1-6)空間，圖四如下，

這個(gè)表格可以變形為，看圖五，

這個(gè)空間具有其獨(dú)特性，因?yàn)樵谒姓麛?shù)中，除了2和3這兩個(gè)素?cái)?shù)之外，其余的素?cái)?shù)均位于形如6N±1的數(shù)列中。利用這個(gè)空間，我們能夠解決數(shù)論領(lǐng)域中一些歷史悠久的問題。

3）整數(shù)8N+A(A=1-8)空間看圖六，

此空間適宜構(gòu)建一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，其中素?cái)?shù)分布于四個(gè)坐標(biāo)軸上。它們可以借助同心圓來表示，與化學(xué)元素周期表中元素原子核外電子數(shù)的分布存在一定的相似性。

4）正整數(shù)10N+A(A=1-10)看圖七，

這個(gè)空間的價(jià)值在于，通過這十個(gè)數(shù)列的組合，可以表示所有的正整數(shù)。而這些數(shù)列的平方數(shù)列，則代表了所有正整數(shù)的平方。其獨(dú)特之處在于，同一數(shù)列中的數(shù)字末尾都相同。

這里僅舉一小部分例子，而這種空間實(shí)際上是無限多的。

4、證明素?cái)?shù)與偶數(shù)之間的關(guān)系

在這里，我們僅需證明一個(gè)觀點(diǎn)：在所有正整數(shù)中，包括2在內(nèi)的每一個(gè)偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

第一步，證明前我們先復(fù)習(xí)一下“正整數(shù)空間”的概念。

看圖一，圖中每一行均能代表所有正整數(shù)，只有確定了所使用的正整數(shù)空間，證明中才能應(yīng)用該空間內(nèi)的等差數(shù)列。否則，使用等差數(shù)列來表示正整數(shù)將是不確定的，這不符合數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

第二步，選取整數(shù)空間的2N+A ，A=1、2空間。

這一步至關(guān)重要。為何如此關(guān)鍵？因?yàn)檎麛?shù)可以通過等差數(shù)列分解為無限多的空間，只有確定了這些空間，正整數(shù)才能以“唯一的等差數(shù)列組”形式來表示。這樣一來，無論是奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)還是合數(shù)，它們的位置都將固定下來，并且會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)N。否則，任何一個(gè)正整數(shù)都可以用無限多的等差數(shù)列形式來表示。

確定了空間后我們才可以做一個(gè)2N+A的表格，如下

務(wù)必重視序號(hào)項(xiàng)數(shù)N的重要性，我與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家們?cè)跀?shù)論研究上的區(qū)別，正是在于引入了這個(gè)N的概念。

第三步，我們仔細(xì)研究2N+A空間表格里面的一些性質(zhì)。

1）可以用兩個(gè)一組等差數(shù)列2N+1和數(shù)列2N+2表示全部正整數(shù)；

2）數(shù)列2N+1是正整數(shù)中的全部奇數(shù)，包含除2以外的全部素?cái)?shù)。

數(shù)列2N+2包含正整數(shù)中的全部偶數(shù)，其中2是素?cái)?shù)，也是最小的偶數(shù)；

3）在這里1是單位，但是在不同的數(shù)學(xué)環(huán)境里它可以是素?cái)?shù)，也可以是合數(shù)；

4）數(shù)列2N+2中的每一個(gè)偶數(shù)，在數(shù)列2N+1中都可以有一組首尾相加的數(shù)對(duì)。數(shù)量是這個(gè)偶數(shù)所在項(xiàng)數(shù)N的一半。比如，12=1+11=3+9=5+7。其中就至少有一對(duì)兩個(gè)素?cái)?shù)相加的情況出現(xiàn)；

5）、選定“正整數(shù)空間”后，素?cái)?shù)都有自己的固定位置，它的出現(xiàn)不是概率隨機(jī)的。所以素?cái)?shù)與合數(shù)的變化規(guī)律，從開始到無窮都是遵守一個(gè)規(guī)律不會(huì)有突變；

6）隨著偶數(shù)的增大，項(xiàng)數(shù)N的增加，素?cái)?shù)在總體中所占比例降低，濃度降低，但是素?cái)?shù)的總數(shù)是還是增多的；

7）偶數(shù)增大，素?cái)?shù)兩兩相加不是沒有或降低，而是增大的，僅僅是增加速度變慢。

8）任取表格里的一個(gè)項(xiàng)數(shù)N，都可以表示成它前面項(xiàng)數(shù)的首尾相加。比如 N=7，可以表示成0+7=1+6=2+5=3+4。

第四步，證明素?cái)?shù)與偶數(shù)之間的關(guān)系。

1）在數(shù)列2N+1中任意選取兩個(gè)素?cái)?shù)q和p，它們對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)分別為m和n。這我們可以做到。

2）它們的項(xiàng)數(shù)之和為 m+n=K，且這些項(xiàng)數(shù)均為固定值。

3）觀察表格 K對(duì)應(yīng)的是一個(gè)偶數(shù) O，從而構(gòu)成了一個(gè)閉區(qū)間 [0, K]。

4）請(qǐng)注意，項(xiàng)數(shù)N總是由其前面項(xiàng)數(shù)兩兩首尾相加的結(jié)果構(gòu)成。例如，當(dāng)N=6時(shí)，0+6、1+5、2+4以及3+3均等于6，整個(gè)序列中的每一項(xiàng)都具有這樣的特性。

5）因此，m+n=K在閉區(qū)間[0，K] 內(nèi)，項(xiàng)數(shù)N等于前項(xiàng)項(xiàng)數(shù)首尾兩兩相加具有普遍性，位置變得不再固定，這時(shí)可以把閉區(qū)間改寫成[0，N]。

既有，q+p=(2m+1)+2(n+1)=2（m+n)+2= 2N+2

結(jié)論：q+p = 2N+2 （公式 1）

這樣我們就會(huì)看到：

對(duì)于任意偶數(shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)N，它都可以被表示為一對(duì)數(shù)m和n的和，其中m和n是素?cái)?shù)的項(xiàng)數(shù)。這樣的表示方法將兩個(gè)素?cái)?shù)相加的固定位置問題轉(zhuǎn)化為在整個(gè)區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)相加的項(xiàng)數(shù)問題。因?yàn)閮蓚€(gè)素?cái)?shù)是任取的，所以兩個(gè)素?cái)?shù)相加等于偶數(shù)的規(guī)律適用于整個(gè)閉區(qū)間[0, N]。即使項(xiàng)數(shù)N趨向于無窮大，這一規(guī)律依然成立。

即， 偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。這個(gè)證明包含了哥德巴赫猜想。

2025年6月4日

注：本文特別“感謝百度AI助手在整數(shù)結(jié)構(gòu)空間理論構(gòu)建過程中提供的邏輯驗(yàn)證支持”，謝謝網(wǎng)易平臺(tái)，謝謝WPS的AI潤(rùn)色和幫助。也感謝在網(wǎng)上所有給予我?guī)椭娜藗儯?/strong>實(shí)話實(shí)說如果沒有你們，我就像二十多年前靠寫掛號(hào)信投稿，我會(huì)被窩囊死！被人家剽竊抄襲而沒有我任何事。感謝這個(gè)互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)代，起碼宣傳了我自己，傳播了我的研究成果，哪怕一些人羨慕嫉妒恨，但是畢竟能夠傳播出去了。

如果按數(shù)學(xué)論文的方式來整理，一是我不是學(xué)術(shù)專業(yè)的，一些數(shù)學(xué)專用名詞我也看不懂，我也不想懂了。二是文檔和軟件的使用和學(xué)習(xí)我也不行了，所以我就按我的方法辦吧，就算是科普吧。

本文修改了兩處關(guān)鍵點(diǎn)，一是把“正整數(shù)空間”的概念，換成了“整數(shù)結(jié)構(gòu)空間”避免了與數(shù)學(xué)上的“正整數(shù)空間”相混淆；二是不再直接寫證明了“哥德巴赫猜想”。而是證明素?cái)?shù)與偶數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。這樣就避免了所謂證明“哥德巴赫猜想”一些人為限制的條件。

再次感謝多年來支持我的人們，感謝科技時(shí)代的互聯(lián)網(wǎng)！