2024年，隨便打開一個(gè)搜索引擎，搜索「太陽系」，結(jié)果大概是這樣的。

某度「太陽系」的搜索結(jié)果

或許你對天文學(xué)一竅不通，但直覺會(huì)告訴你這些太陽系照片看起來就不太真實(shí)。實(shí)際上，你能找到的結(jié)果中幾乎不可能有按正確比例顯示的太陽系照片。即使是教科書上的太陽系插圖，不論是軌道半徑的大小還是行星大小都沒有按比例繪制。

人教版高中地理必修一的太陽系插圖丨人教網(wǎng)

為什么正確比例的太陽系插圖那么難找，是因?yàn)樽鲌D的畫師們都不懂天文學(xué)嗎？

這個(gè)事情可能還真的不是畫師的鍋。我們可以做一道簡單的小學(xué)二年級數(shù)學(xué)題：已知太陽系最小的行星水星直徑約5000km，八大行星中距離最遠(yuǎn)的是海王星，其半長軸約為30天文單位（AU），合45億km，那么后者是前者的多少倍呢？不難發(fā)現(xiàn)海王星的軌道半徑是水星直徑接近一百萬倍。把相差了六個(gè)數(shù)量級的兩個(gè)物體以相同比例尺同時(shí)畫在一張小小的插圖上，不是畫師不想畫，而是

如果把插圖畫大一些呢？比如說，我們可以在常見的A4紙畫出正確比例的太陽系八大行星以及他們各自的軌道嗎？

A4紙的規(guī)格是297×210mm，即29.7×21.0cm。天文愛好者對于29.7這個(gè)數(shù)字應(yīng)該會(huì)比較敏感，因?yàn)檫@很接近海王星公轉(zhuǎn)軌道的半長軸數(shù)值（約30.11AU），因此我們不妨設(shè)定A4紙上比例尺為1cm=1AU，這樣一張A4紙能顯示的最大距離為紙張的對角線長度363.74mm，即不超過36.4AU。

在這個(gè)比例尺下，把太陽畫在A4紙的一角，八大行星沿對角線一字排開，此時(shí)

• 水星軌道距離太陽約3.9mm（0.38AU）

• 金星軌道距離太陽約7.2mm（0.72AU）

• 地球軌道距離太陽約10mm（1AU）

• 火星軌道距離太陽約15.2mm（1.52AU）

• 木星軌道距離太陽約52.0mm（5.2AU）

• 土星軌道距離太陽約95.5mm（9.55AU）

• 天王星軌道距離太陽約192.2mm（19.22AU）

• 海王星軌道距離太陽約301.1mm（30.11AU）

畫在A4紙大概長這樣

又太陽直徑接近0.01AU[1]，所以太陽在A4紙上的對應(yīng)大小為0.1mm，這個(gè)大小已經(jīng)接近人眼的分辨極限了[2]。即便是取極限（對焦距離10cm），肉眼的可分辨大小也不會(huì)小于0.03mm，按比例尺換算，此時(shí)直徑在40萬千米以下的天體無法在A4紙上準(zhǔn)確分辨出大小，而行星中最大的木星直徑也僅為14萬千米，也就是說當(dāng)我們在一張A4紙呈現(xiàn)八大行星正確的距離比例時(shí)，還是無法在同樣的比例尺下分辨出除太陽以外太陽系天體的真實(shí)大小。

如果一張A4紙不夠，那我們不妨再用一張。第二張A4紙可以看作是將在第一張A4紙上堪堪可見的太陽以及無法分辨具體大小的八大行星放大以后的效果。考慮到太陽和八大行星在體型上的巨大差異，在第二張A4紙上我們要盡量地把太陽畫得大些，最好用滿A4紙的寬度——210mm，那么這時(shí)候太陽在紙上占據(jù)的大小是一個(gè)直徑210mm的圓。這個(gè)直徑和第一張紙上的太陽比相差2100倍，那么第二張紙的比例尺是第一張紙的2100倍，即1cm≈71237km，巧合的是這個(gè)長度幾乎就是木星的赤道半徑（71492km）。也就是說在第二張紙上：

• 木星直徑約為20mm

• 土星直徑約為16.9mm，含土星環(huán)的直徑為39.4mm

• 天王星直徑約為7.2mm

• 海王星直徑約為6.9mm

• 地球直徑約為1.8mm

• 金星直徑約為1.7mm

• 火星直徑約為0.95mm

• 水星直徑約為0.68mm

在23.8寸的顯示器上全屏觀看此圖，效果與第二張A4紙接近

這個(gè)時(shí)候我們總算可以清楚分辨出八大行星了，行星之間的距離又是多少呢？在相同的比例尺下，如果太陽畫在第一張紙的角落，

• 水星需要畫在第23張A4紙上（以對角線拼接，下同）

• 金星需要畫在第42張A4紙上

• 地球星需要畫在第58張A4紙上

• 火星需要畫在第88張A4紙上

• 木星需要畫在第301張A4紙上

• 土星需要畫在第552張A4紙上

• 天王星需要畫在第1110張A4紙上

• 海王星需要畫在第1739張A4紙上

這樣似乎有些太浪費(fèi)紙了。

既然水星個(gè)頭最小，我們干脆以它為標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)比例尺。按照一般情況下的水星可分辨直徑計(jì)算（0.1mm對應(yīng)4880km），比例尺定為1cm=50萬km，這個(gè)比例尺大約是第一張A4紙的300倍，第二張A4紙的1/7。仍然采用紙張利用率最高的對角線畫法，效果大概如下：

• 太陽直徑約30mm，在第一張A4紙的角落

• 水星直徑約0.1mm，在第4張A4紙上

• 金星直徑約0.24mm，在第6張A4紙上

• 地球直徑約0.26mm，在第9張A4紙上

• 火星直徑約0.14mm，在第13張A4紙上

• 木星直徑約2.9mm，在43張A4紙上

• 土星直徑約2.4mm，含土星環(huán)的直徑約為5.6mm，在第79張A4紙上

• 天王星直徑約1.0mm，在第159張A4紙上

• 海王星直徑約1.0mm，在第249張A4紙上

如果你正在用手機(jī)瀏覽回答，以上無序列表的標(biāo)點(diǎn)就是天王星和海王星在這個(gè)比例尺下的大小。新方案和上一個(gè)方案相比節(jié)約了近85.7%的A4紙，效果拔群。

在最開始的A4紙上，我們發(fā)現(xiàn)肉眼無法分辨八大行星的真實(shí)大小，這其實(shí)與我們在面對現(xiàn)實(shí)星空的情況非常類似：我們無法分辨夜空中群星的真實(shí)大小，但我們實(shí)實(shí)在在地看到了它們。所以換個(gè)角度想，如果我們想辦法讓畫在紙上的八顆行星「發(fā)光」，那么即便它們都在肉眼分辨極限之外，我們也能注意到。

夜空中所有恒星的視直徑都小于肉眼分辨極限︱茲基派德

可以規(guī)定水星對應(yīng)一個(gè)發(fā)光像素點(diǎn)，在維持比例尺不變（1cm=1AU）的前提下這個(gè)像素點(diǎn)的大小在0.3μm附近。其余行星對應(yīng)的像素點(diǎn)數(shù)量按比例分配，雖然不管分配多少個(gè)像素點(diǎn)最后人眼看上去都只是一個(gè)點(diǎn)。

由于人眼的視覺特性，當(dāng)我們看真實(shí)星空時(shí)，越亮的星星看起來似乎更大些[3]，伽利略曾經(jīng)觀察-2等的木星和-4等的金星，他發(fā)現(xiàn)更亮的金星看起來要比木星大8~10倍[4]。類似的，我們可以通過設(shè)計(jì)亮度梯度讓人眼觀察紙上的八大行星時(shí)產(chǎn)生星點(diǎn)大小有別的「錯(cuò)覺」。

順帶提一句，如果使用0.3μm的像素點(diǎn)鋪滿整張A4紙，總像素會(huì)相當(dāng)于209億個(gè)8K顯示屏，像素密度是目前主流手機(jī)顯示屏的100倍以上。

參考&拓展

[1]1.4E6÷1.5E8

[2]正常人眼最近對焦距離為10~15cm，0.1mm的物體在該距離下的張角為2.3~3.4角分，一般認(rèn)為人眼角分辨極限為1角分

[3]https://www.zhihu.com/question/24113185/answer/26992311

[4]https://www.zhihu.com/question/22923983/answer/23108906

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