19世紀(jì)末，經(jīng)典物理學(xué)看似堅(jiān)不可摧，開爾文勛爵甚至斷言“物理學(xué)已接近完美”，然而，小小的“烏云”中卻暗藏著一場(chǎng)翻天覆地的風(fēng)暴，最終引爆了20世紀(jì)的量子革命。

圖（1）“普朗克公式”擬合曲線與黑體輻射實(shí)驗(yàn)曲線的對(duì)比圖

（圖片來源：Wikipedia）

1900年，德國(guó)物理學(xué)家普朗克基于對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的深入分析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，成功得到與黑體輻射實(shí)驗(yàn)曲線完美吻合的“普朗克公式”。這次發(fā)現(xiàn)開啟了經(jīng)典物理學(xué)向量子理論轉(zhuǎn)變的第一扇大門。他提出的“能量量子化”假說，顛覆了自牛頓以來的連續(xù)性世界觀，開啟了人類認(rèn)知量子世界的全新紀(jì)元。

出道即巔峰：具有敏銳物理直覺的普朗克

其實(shí)早在1894年，普朗克就全身心投入到黑體輻射的研究中，他嘗試了經(jīng)典物理學(xué)中的幾乎所有方法——從電磁理論到熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)，卻始終未能取得突破。直到1900年10月，普朗克在與德國(guó)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家海因里希?魯本斯共進(jìn)晚餐交流后，才開始重新審視和思考自己推導(dǎo)黑體輻射規(guī)律的方式。

在當(dāng)時(shí)的研究背景下，普朗克面臨的情況是：適用于短波的維恩公式和適用于長(zhǎng)波的瑞利-金斯公式，各有優(yōu)缺點(diǎn)。

維恩公式：基于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的半經(jīng)驗(yàn)公式，它在短波（高頻）區(qū)域與實(shí)驗(yàn)吻合較好，但在長(zhǎng)波（低頻）區(qū)域則不適用。這主要是因?yàn)樗鼉H考慮了高頻輻射的一些特性，而在長(zhǎng)波區(qū)域，其預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在較大偏差。這一現(xiàn)象表明，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法在長(zhǎng)波區(qū)域具有一定的局限性。

瑞利-金斯公式：基于能量均分原理推導(dǎo)出的理論公式，它在長(zhǎng)波區(qū)域與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為一致，但在短波區(qū)域卻因能量發(fā)散導(dǎo)致所謂的“紫外災(zāi)難”?！白贤鉃?zāi)難”指的是在短波區(qū)域，根據(jù)該公式計(jì)算得出的輻射強(qiáng)度會(huì)隨著波長(zhǎng)的減小急劇增大，最終導(dǎo)致總輻射能量趨于無窮大。這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)重不符，深刻揭示了經(jīng)典能量均分原理在微觀領(lǐng)域的局限性。

在深入分析了兩個(gè)公式的優(yōu)缺點(diǎn)后，普朗克在那一夜決定暫時(shí)拋開經(jīng)典物理學(xué)的理論束縛，嘗試用數(shù)學(xué)中的“內(nèi)插法”，將維恩公式和瑞利-金斯公式結(jié)合起來，以得到一個(gè)既能與黑體輻射實(shí)驗(yàn)曲線相吻合，又能涵蓋短波和長(zhǎng)波區(qū)域的全新物理學(xué)公式。

具體來說，普朗克首先對(duì)維恩公式進(jìn)行了巧妙的調(diào)整，引入了一個(gè)指數(shù)修正項(xiàng)。這一創(chuàng)新性的調(diào)整使得新公式在短波區(qū)域近似于維恩公式，而在長(zhǎng)波區(qū)域則近似于瑞利-金斯公式，實(shí)際上是在數(shù)學(xué)形式上尋求一種平衡，以兼顧短波和長(zhǎng)波區(qū)域的特性。

接著，普朗克通過對(duì)黑體輻射實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合分析，發(fā)現(xiàn)還需要將公式中的某些常數(shù)替換為與物理實(shí)際相關(guān)的參數(shù)。其中，最為關(guān)鍵的一步是引入了一個(gè)全新的物理常數(shù)h，也就是后來聞名于世的普朗克常數(shù)。普朗克常數(shù)的引入，標(biāo)志著物理學(xué)從傳統(tǒng)的經(jīng)典時(shí)代邁入了全新的量子時(shí)代，為后續(xù)的量子理論發(fā)展奠定了重要的基礎(chǔ)。

最終，普朗克成功地將維恩公式和瑞利-金斯公式的優(yōu)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來，提出了具有劃時(shí)代意義的普朗克公式。該公式在短波時(shí)與維恩公式相符，長(zhǎng)波時(shí)則與瑞利-金斯公式一致，完美地解釋了黑體輻射現(xiàn)象，解決了長(zhǎng)期困擾物理學(xué)界的難題。

從本質(zhì)上來說，普朗克公式的提出具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。當(dāng)波長(zhǎng)很短時(shí)，它主要體現(xiàn)了維恩公式的特性；而當(dāng)波長(zhǎng)很長(zhǎng)時(shí)，則會(huì)近似為瑞利-金斯公式的形式。這一公式不僅成功地解釋了黑體輻射現(xiàn)象，更重要的是，它暗示了能量的量子化特性，為量子理論的誕生和發(fā)展開辟了新的道路，推動(dòng)了現(xiàn)代物理學(xué)的深刻變革。

普朗克公式的重要突破：“能量量子化”假說

為了更清晰地揭示普朗克公式所蘊(yùn)含的重大意義，我們可從波長(zhǎng)與頻率的關(guān)系切入，深入剖析普朗克公式的頻率形式。

普朗克公式表明，電磁波輻射的能量并非如經(jīng)典物理學(xué)所認(rèn)為的那樣是連續(xù)的，而是呈現(xiàn)為離散的形式，其能量交換的最小單位是一個(gè)被稱為“能量子”的基本單位。這一觀點(diǎn)在當(dāng)時(shí)無疑是極具顛覆性的，因?yàn)榻?jīng)典物理學(xué)長(zhǎng)期以來一直秉持著能量可連續(xù)變化、取任意值的觀點(diǎn)。普朗克的發(fā)現(xiàn)猶如平地起驚雷，徹底改變了人們對(duì)能量的認(rèn)知，開啟了能量量子化的新篇章。

圖（3）“能量量子化”的示意圖

（圖片來源：Wikipedia）

1900年10月19日，在經(jīng)歷無數(shù)次基于經(jīng)典公式的推導(dǎo)卻以失敗告終后，普朗克帶著他的新成果登上了柏林物理學(xué)會(huì)會(huì)議的講臺(tái)，發(fā)表了一份題為《改進(jìn)維恩輻射定律》的報(bào)告。在報(bào)告中，他詳細(xì)地向在場(chǎng)的科學(xué)家們介紹了他的新公式，并闡述了這一公式背后的創(chuàng)新性假設(shè)——黑體輻射的能量變化并非連續(xù)，而是以最小能量單位的整數(shù)倍跳躍式地進(jìn)行，這個(gè)最小能量單位被普朗克命名為“能量子（quantus）”。這一假設(shè)在當(dāng)時(shí)無疑是大膽且超前的，毫不客氣地挑戰(zhàn)了經(jīng)典物理學(xué)的核心觀念，為量子力學(xué)的誕生奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

圖（4）1900年，普朗克發(fā)表的《改進(jìn)維恩輻射定律》學(xué)術(shù)論文

（圖片來源：參考文獻(xiàn)[1]，Ann. Physik）

然而，普朗克的大膽假設(shè)和全新公式一經(jīng)提出，便在當(dāng)時(shí)的物理學(xué)界引發(fā)了軒然大波，引起了強(qiáng)烈的反響。一些物理學(xué)家對(duì)此議論紛紛，甚至有人認(rèn)為這是“異端邪說”，與經(jīng)典物理學(xué)的理論體系格格不入。在當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)環(huán)境下，普朗克的理論仿若一顆投入平靜湖面的巨石，瞬間激起了千層浪，引發(fā)了廣泛的爭(zhēng)議和討論。

但就在當(dāng)天晚上，魯本斯憑借著對(duì)普朗克新公式的極大興趣和敏銳的科學(xué)直覺，迅速地根據(jù)這一公式進(jìn)行了深入計(jì)算。他將計(jì)算結(jié)果與自己手頭積累的大量精準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了仔細(xì)的對(duì)比分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩者出人意料地一致。這一實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猶如一記重錘，為普朗克的理論提供了強(qiáng)有力的支持，使得這一新理論逐漸在眾多的質(zhì)疑聲中嶄露頭角，贏得了更多科學(xué)家的關(guān)注和認(rèn)可。

最終，在1900年12月14日，經(jīng)過對(duì)公式和推導(dǎo)過程的進(jìn)一步完善，普朗克成功地計(jì)算出了普朗克常數(shù)h=6.626×10?3?J ? s，正式發(fā)表了自己的學(xué)術(shù)論文，這一天也被視為量子物理學(xué)的誕生日。普朗克的這一成果不僅成功地解決了黑體輻射問題，更重要的是，它標(biāo)志著量子時(shí)代的到來，為后續(xù)物理學(xué)的發(fā)展開辟了全新的道路。

一個(gè)保守主義者的“自我掙扎”

盡管普朗克創(chuàng)立了量子理論，但長(zhǎng)期以來，他只是將能量量子化視為一種數(shù)學(xué)工具，而非全新的物理理論。作為一個(gè)保守主義者，普朗克曾試圖借助經(jīng)典物理中的統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論來“修正”量子化假說，將其納入經(jīng)典物理學(xué)的理論框架中，但都以失敗告終。普朗克的這種保守態(tài)度，反映了他在新舊理論交替時(shí)期的矛盾心理：一方面，他渴望解決黑體輻射問題；另一方面，他卻不愿意完全拋棄經(jīng)典物理學(xué)的框架。他曾說：“我從未想過顛覆經(jīng)典理論，但事實(shí)迫使我必須這么做?！?/p>

普朗克引入的普朗克常數(shù)h，為微觀世界提供了“最小貨幣單位”，每個(gè)能量子的大小均為ε=hv。盡管普朗克將這一假設(shè)稱為“數(shù)學(xué)技巧”，但它卻完美地統(tǒng)一了維恩公式與瑞利-金斯公式的矛盾，不僅解決了黑體輻射難題，更動(dòng)搖了“自然無跳躍”的經(jīng)典預(yù)設(shè)。盡管起初普朗克本人并未完全意識(shí)到這一理論創(chuàng)新的深遠(yuǎn)影響，但它最終成為了量子力學(xué)的基石之一。

直到1905年愛因斯坦用光量子解釋光電效應(yīng)、1913年玻爾提出量子化原子模型，普朗克才逐漸承認(rèn)量子的存在。這種認(rèn)知滯后，恰似牛頓對(duì)萬有引力“超距作用”的困惑——革命者往往最晚接受自己的革命。普朗克的轉(zhuǎn)變過程，生動(dòng)地反映了科學(xué)理論發(fā)展的復(fù)雜性和曲折性，即使是偉大的科學(xué)家，也需要時(shí)間來接受和適應(yīng)新的理論觀念。

圖（5） 1931年11月11日，普朗克在柏林馮·勞厄舉行的晚宴上

（從左數(shù)第三位）

（圖片來源：Wikipedia）

不僅如此，1918年諾貝爾獎(jiǎng)委員會(huì)決定授予普朗克諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，以表彰他對(duì)熱力學(xué)和黑體輻射研究的貢獻(xiàn)。然而，頒獎(jiǎng)詞卻刻意避開了“量子”一詞。評(píng)委會(huì)對(duì)這顆“理論炸彈”的謹(jǐn)慎態(tài)度，與后世將“紫外災(zāi)難”塑造成教學(xué)典故的戲劇化敘事，構(gòu)成了科學(xué)史的雙重反諷。這一事件深刻地反映了當(dāng)時(shí)科學(xué)界對(duì)量子理論的復(fù)雜心理：一方面不得不承認(rèn)其在解決黑體輻射問題上的貢獻(xiàn)；另一方面又對(duì)其顛覆性影響感到擔(dān)憂和恐懼。

普朗克常數(shù)h：刻在墓碑上的量子密碼

1947年10月4日，物理學(xué)家普朗克結(jié)束了他輝煌燦爛的一生，被安葬于德國(guó)哥廷根市公墓。他的墓碑簡(jiǎn)約而深邃，除了名字，僅鐫刻著一行數(shù)字：h=6.62×10?3?W ? s2。這行數(shù)字宛如科學(xué)史上的永恒坐標(biāo)，既彰顯了普朗克對(duì)量子理論的卓越貢獻(xiàn)，也映照出他對(duì)科學(xué)的無限熱忱。

根據(jù)2017年國(guó)際科技數(shù)據(jù)委員會(huì)（CODATA）公布的數(shù)據(jù)，目前國(guó)際上最權(quán)威的普朗克常數(shù)h測(cè)量值是：6.62607015×10?3?J ? s。墓碑上刻的單位是W ? s2，和我們現(xiàn)在最常用的J ? s并不一致，但因?yàn)?J=1W ? s，所以量綱是等價(jià)的。它雖小到在日常生活中幾乎可以忽略不計(jì)，卻在微觀世界中扮演著舉足輕重的角色，決定著能量的量子化特性，是量子力學(xué)的核心參數(shù)之一。

普朗克常數(shù)h被鐫刻在墓碑上，這微小的數(shù)字如同一把鑰匙，開啟了微觀世界的神秘大門。它宣告自然并非無限可分，微觀世界的跳躍性與宏觀世界的連續(xù)性在此分道揚(yáng)鑣，量子物理學(xué)由此成為物理學(xué)的重要分支。這一發(fā)現(xiàn)不僅重塑了物理學(xué)的理論版圖，更深遠(yuǎn)地影響了現(xiàn)代科技的發(fā)展進(jìn)程。從半導(dǎo)體技術(shù)到量子計(jì)算，從精密測(cè)量到量子通信，無數(shù)前沿科技都建立在量子理論的基礎(chǔ)之上，持續(xù)推動(dòng)著人類社會(huì)的進(jìn)步與變革。

圖（6）位于德國(guó)哥廷根市公墓內(nèi)的普朗克墓碑

（圖片來源：Wikipedia）

烏云之上，星光璀璨

黑體輻射這朵“烏云”，非但沒有摧毀經(jīng)典熱力學(xué)的大廈，反而在其基礎(chǔ)上建起了一座更加宏偉的量子殿堂。普朗克的故事提醒我們：科學(xué)的進(jìn)步往往始于一次“不情愿的妥協(xié)”，而真理的鋒芒，終將刺破固有認(rèn)知的繭房。正如普朗克晚年感慨：“科學(xué)無法解答自然的終極謎題，因?yàn)闅w根結(jié)底，我們自身就是謎題的一部分?！边@句話深刻地揭示了科學(xué)探索的無窮性和人類認(rèn)知的局限性，也激勵(lì)著后人不斷追求真理，探索未知。

圖（7）1952年，發(fā)行于西德郵票上的普朗克肖像

（圖片來源：Wikipedia）

當(dāng)烏云散盡，人類終于抬頭看見——那片星空，原來是由量子點(diǎn)亮。量子理論的誕生，徹底改變了我們對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)，為我們打開了通往微觀世界的大門，讓我們得以窺見宇宙更深層次的奧秘。普朗克的貢獻(xiàn)，如同一座不朽的豐碑，永遠(yuǎn)銘刻在科學(xué)史上，激勵(lì)著一代又一代的科學(xué)家繼續(xù)前行，在探索未知的道路上永不止步。

參考文獻(xiàn)

[1] Planck M. On an Improvement of Wien’s Equation for the Spectrum[J]. Ann. Physik, 1900, 1: 719-721.

出品：科普中國(guó)

作者：欒春陽 王雨桐（物理學(xué)博士）

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