正整數(shù)空間的概念

作者：李鐵鋼

摘要：本文采用了一種基礎(chǔ)而直接的方法，初步探索并研究了正整數(shù)（數(shù)論領(lǐng)域）中的一部分規(guī)律性。通過利用無限數(shù)量的等差數(shù)列組合，構(gòu)建了一個(gè)所謂的“正整數(shù)空間”，從而獲得了一套關(guān)于自然數(shù)規(guī)律探討的理論體系。此外，本文還對著名的哥德巴赫猜想提出了一個(gè)證明方法，并且得到了一些積極的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：正整數(shù)空間概念、合數(shù)項(xiàng)數(shù)列、合數(shù)項(xiàng)公式、素?cái)?shù)項(xiàng)公式、合數(shù)與素?cái)?shù)的判定式、哥德巴赫猜想的證明。

引言

在這個(gè)浩瀚無垠的宇宙之中，存在著兩種基礎(chǔ)而至關(guān)重要的元素，它們就如同房屋的骨架一般支撐著整個(gè)宇宙結(jié)構(gòu)。這兩種元素，一種是數(shù)字，另一種則是幾何圖形。自遠(yuǎn)古時(shí)代起，人類的智慧就開始探索和應(yīng)用數(shù)字和幾何圖形的規(guī)律，以及它們之間的相互關(guān)聯(lián)。

早在公元前300年左右的歷史時(shí)期，一位偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，歐幾里得，將前人積累的幾何知識和經(jīng)驗(yàn)，通過他的智慧和努力，提升到了理論的層面，并撰寫了一部具有劃時(shí)代意義的著作，這部著作的名字就叫做《幾何原本》。

正整數(shù)，作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)古老而基礎(chǔ)的概念，幾千年來一直吸引著無數(shù)學(xué)者的研究和探討。隨著時(shí)間的推移，正整數(shù)的研究逐漸形成了數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，即“數(shù)論”。盡管如此，直到今天，我們?nèi)匀粵]有找到一個(gè)合適的工具，能夠使用“初等的研究方法”來對正整數(shù)的內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行深入的理論研究和探討。

在近300年的時(shí)間里，世界級的大數(shù)學(xué)家們也對自然數(shù)進(jìn)行了深入而艱難的探索。雖然我們已經(jīng)擁有一門古老的數(shù)學(xué)分支《數(shù)論》，它專門研究自然數(shù)中的規(guī)律，但其研究方法不是過于初級沒有頭緒，往往就是過于深奧和復(fù)雜，以至于許多問題對于普通人來說，難以學(xué)習(xí)和研究。

數(shù)學(xué)家們一直沒有找到所謂的素?cái)?shù)公式，也沒有搞清楚素?cái)?shù)在正整數(shù)中的規(guī)律。

在這里，我將提出一個(gè)初等的方法，用以研究正整數(shù)內(nèi)部的規(guī)律。這個(gè)方法就是“正整數(shù)空間”的概念及其定義，它將為我們提供一個(gè)新的視角，去理解和探索正整數(shù)的奧秘。

1、正整數(shù)空間概念的出現(xiàn)和它的意義

為了便于研究問題，我們不再采用教科書中的等差數(shù)列標(biāo)準(zhǔn)形式，而是使用KN+A的形式來表示等差數(shù)列。只要K和N互質(zhì)，這樣的等差數(shù)列就被定義為“含素?cái)?shù)數(shù)列”，并且該數(shù)列包含的素?cái)?shù)數(shù)量是無限的，這一點(diǎn)無需證明。

正整數(shù)空間的概念指的是：所有的正整數(shù)1、2、3……可以被表示為若干個(gè)等差數(shù)列的集合。在這種表示方法中，每個(gè)正整數(shù)，無論是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都對應(yīng)一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)N。因此，素?cái)?shù)在數(shù)列中擁有了確定的位置，而不是隨機(jī)分布。

看下面的圖一，

在這個(gè)表格中，每一橫排的等差數(shù)列均能代表所有正整數(shù)，從1到無限。

2、 正整數(shù)空間N+1 的意義

正整數(shù)空間N+1，表格如如圖二，

因此，數(shù)列N+1涵蓋了所有正整數(shù)。同時(shí)，每個(gè)正整數(shù)——無論是素?cái)?shù)還是合數(shù)——都對應(yīng)著數(shù)列中的一個(gè)特定項(xiàng)數(shù)N。

在探討正整數(shù)的規(guī)律時(shí)，使用等差數(shù)列作為研究工具是一個(gè)非常有效的方法。然而，重要的是，在開始這樣的研究之前，我們必須明確指出我們是在哪一個(gè)特定的“正整數(shù)空間”內(nèi)進(jìn)行探討。這是因?yàn)椴煌恼麛?shù)空間可能會導(dǎo)致不同的規(guī)律和特性。只有當(dāng)我們指定了研究的正整數(shù)空間，等差數(shù)列才能獲得其真正的指向性，并且能夠與現(xiàn)實(shí)世界中的具體問題相對應(yīng)，從而具有實(shí)際的意義。否則，如果我們忽略了這一前提，那么所討論的等差數(shù)列就可能會變得混亂不堪，缺乏明確的指向和特定的意義，最終導(dǎo)致研究結(jié)果無效，無法為現(xiàn)實(shí)世界的問題提供有價(jià)值的見解。

通過項(xiàng)數(shù)N，我們可以構(gòu)建出一個(gè)按順序排列的、數(shù)量無限的合數(shù)項(xiàng)數(shù)列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數(shù)項(xiàng)數(shù)列公式可以寫成，Sn+K 的形式。

S 是一個(gè)素?cái)?shù)，n 是系數(shù)，取值范圍包括 0、1、2 等等，而 K 表示合數(shù)首次出現(xiàn)的位置。

請注意，這里的“1n+0”中的“1”指的是一個(gè)素?cái)?shù)。關(guān)于這個(gè)問題，我們暫不展開討論。至于合數(shù)出現(xiàn)的周期數(shù)，它與前面提到的第一個(gè)素?cái)?shù)的數(shù)值相同。

現(xiàn)在，讓我們來觀察“3n+2”這一合數(shù)項(xiàng)數(shù)列。

當(dāng)n=0時(shí)，合數(shù)項(xiàng)數(shù)列“3n+2”等于2。請注意這里的“2”指的是項(xiàng)數(shù)，將其代入“n+1”數(shù)列中，我們得到3。隨后，數(shù)列中出現(xiàn)的合數(shù)都是以3為周期的，例如：6、9、12……

我們可以將正整數(shù)1、2、3……視為一個(gè)等差數(shù)列，但為何不直接稱之為“合數(shù)數(shù)列”，而是采用“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列”這一術(shù)語呢？

這是因?yàn)楫?dāng)我們引入一個(gè)新的項(xiàng)數(shù)N時(shí)，研究方法發(fā)生了根本性的變化。現(xiàn)在，我們關(guān)注的是“正整數(shù)空間”中的N+1維空間。

我們可以在數(shù)列N+1中定義一個(gè)“合數(shù)項(xiàng)”公式，即

Nh=a(b+1)+b （公式1）

這個(gè)公式必須與數(shù)列N+1的表格配合使用，否則它將是無效且無意義的。

在公式中，Nh代表合數(shù)項(xiàng)，而a和b都是項(xiàng)數(shù)，它們的取值范圍包括0、1、2、3等自然數(shù)。

例如，取a=1和b=5時(shí)，Nh=11，代入N+1的合數(shù)計(jì)算得11+1=12。

再取a=3和b=4時(shí)，Nh=19，對應(yīng)的N+1值為20。

我們擁有一個(gè)相對的素?cái)?shù)項(xiàng)公式，

Hs = N - Nh （公式 2）

當(dāng)我們面對一個(gè)龐大的數(shù)字，如何判斷它是合數(shù)還是素?cái)?shù)呢？這里有一個(gè)簡單的判定方法：

K=(N-b)/b+1 （公式3）

將數(shù)字N代入上述判定公式，如果方程存在整數(shù)解，則該數(shù)字為合數(shù)；若無解，則為素?cái)?shù)。顯然，對于極大的數(shù)字，手動計(jì)算是不現(xiàn)實(shí)的，此時(shí)我們可以編寫程序借助計(jì)算機(jī)來完成這一任務(wù)。

這個(gè)公式我們稱它為判定式。

3、簡單介紹幾個(gè)正整數(shù)空間的意義

1）正整數(shù) 4N+A 空間，如圖三，

4N+A數(shù)列構(gòu)成了一個(gè)空間，在這個(gè)空間中，素?cái)?shù)分布在4N+1、4N+3的數(shù)列中。該空間由兩個(gè)合數(shù)項(xiàng)公式構(gòu)成一組方程，但此處不再詳細(xì)闡述。

2）正整數(shù)6N+A空間，圖四如下，

這個(gè)表格可以變形為，看圖五，

這個(gè)空間具有其獨(dú)特性，因?yàn)樵谒姓麛?shù)中，除了2和3這兩個(gè)素?cái)?shù)之外，其余的素?cái)?shù)均位于形如6N±1的數(shù)列中。利用這個(gè)空間，我們能夠解決數(shù)論領(lǐng)域中一些歷史悠久的問題。

3）正整數(shù)8N+A 空間看圖六，

此空間適宜構(gòu)建一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，其中素?cái)?shù)分布于四個(gè)坐標(biāo)軸上。它們可以借助同心圓來表示，與化學(xué)元素周期表中元素原子核外電子數(shù)的分布存在一定的相似性。

4）正整數(shù)10N+A看圖七，

這個(gè)空間的價(jià)值在于，通過這十個(gè)數(shù)列的組合，可以表示所有的正整數(shù)。而這些數(shù)列的平方數(shù)列，則代表了所有正整數(shù)的平方。其獨(dú)特之處在于，同一數(shù)列中的數(shù)字末尾都相同。

這里僅舉一小部分例子，而這種空間實(shí)際上是無限多的。

4、利用正整數(shù)空間的概念證明哥德巴赫猜想

什么是哥德巴赫猜想？

在這里，我們僅需證明一個(gè)觀點(diǎn)：在所有正整數(shù)中，包括2在內(nèi)的每一個(gè)偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

第一步，證明前我們先復(fù)習(xí)一下“正整數(shù)空間”的概念。

看圖一，圖中每一行均能代表所有正整數(shù)，只有確定了所使用的正整數(shù)空間，證明中才能應(yīng)用該空間內(nèi)的等差數(shù)列。否則，使用等差數(shù)列來表示正整數(shù)將是不確定的，這不符合數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

第二步，選取正整數(shù)空間的2N+A ，A=1、2空間。

這一步至關(guān)重要。為何如此關(guān)鍵？因?yàn)檎麛?shù)可以通過等差數(shù)列分解為無限多的空間，只有確定了這些空間，正整數(shù)才能以“唯一的等差數(shù)列組”形式來表示。這樣一來，無論是奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)還是合數(shù)，它們的位置都將固定下來，并且會對應(yīng)一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)N。否則，任何一個(gè)正整數(shù)都可以用無限多的等差數(shù)列形式來表示。

確定了空間后我們才可以做一個(gè)2N+A的表格，如下

務(wù)必重視序號項(xiàng)數(shù)N的重要性，我與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家們在數(shù)論研究上的區(qū)別，正是在于引入了這個(gè)N的概念。

第三步，我們仔細(xì)研究2N+A空間表格里面的一些性質(zhì)。

1）可以用兩個(gè)一組等差數(shù)列2N+1和數(shù)列2N+2表示全部正整數(shù)；

2）數(shù)列2N+1是正整數(shù)中的全部奇數(shù)，包含除2以外的全部素?cái)?shù)。

數(shù)列2N+2包含正整數(shù)中的全部偶數(shù)，其中2是素?cái)?shù)，也是最小的偶數(shù)；

3）在這里1是單位，但是在不同的數(shù)學(xué)環(huán)境里它可以是素?cái)?shù)，也可以是合數(shù)；

4）數(shù)列2N+2中的每一個(gè)偶數(shù)，在數(shù)列2N+1中都可以有一組首尾相加的數(shù)對。數(shù)量是這個(gè)偶數(shù)所在項(xiàng)數(shù)N的一半。比如，12=1+11=3+9=5+7。其中就至少有一對兩個(gè)素?cái)?shù)相加的情況出現(xiàn)；

5）、選定“正整數(shù)空間”后，素?cái)?shù)都有自己的固定位置，它的出現(xiàn)不是概率隨機(jī)的。所以素?cái)?shù)與合數(shù)的變化規(guī)律，從開始到無窮都是遵守一個(gè)規(guī)律不會有突變；

6）隨著偶數(shù)的增大，項(xiàng)數(shù)N的增加，素?cái)?shù)在總體中所占比例降低，濃度降低，但是素?cái)?shù)的總數(shù)是還是增多的；

7）偶數(shù)增大，素?cái)?shù)兩兩相加不是沒有或降低，而是增大的，僅僅是增加速度變慢。

8）任取表格里的一個(gè)項(xiàng)數(shù)N，都可以表示成它前面項(xiàng)數(shù)的首尾相加。比如 N=7，可以表示成0+7=1+6=2+5=3+4。

第四步，證明哥德巴赫猜想。

1）在數(shù)列2N+1中任意選取兩個(gè)素?cái)?shù)q和p，它們對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)分別為m和n。這我們可以做到。

2）它們的項(xiàng)數(shù)之和為 m+n=K，且這些項(xiàng)數(shù)均為固定值。

3）觀察表格 K 對應(yīng)的是一個(gè)偶數(shù) O，從而構(gòu)成了一個(gè)閉區(qū)間 [0, K]。

4）請注意，項(xiàng)數(shù)N總是由其前面項(xiàng)數(shù)兩兩首尾相加的結(jié)果構(gòu)成。例如，當(dāng)N=6時(shí)，0+6、1+5、2+4以及3+3均等于6，整個(gè)序列中的每一項(xiàng)都具有這樣的特性。

5）因此，m+n=K 在閉區(qū)間[0，K] 內(nèi)，項(xiàng)數(shù)N等于前項(xiàng)項(xiàng)數(shù)首尾兩兩相加具有普遍性，位置變得不再固定，這時(shí)可以把閉區(qū)間改寫成[0，N]。

既有，q+p=(2m+1)+2(n+1)=2（m+n)+2 = 2N+2

結(jié)論：q+p =2N+2 （公式 1）

這樣我們就會看到：

對于任意偶數(shù)對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)N，它都可以被表示為一對數(shù)m和n的和，其中m和n是素?cái)?shù)的項(xiàng)數(shù)。這樣的表示方法將兩個(gè)素?cái)?shù)相加的固定位置問題轉(zhuǎn)化為在整個(gè)區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)相加的項(xiàng)數(shù)問題。因?yàn)閮蓚€(gè)素?cái)?shù)是任取的，所以兩個(gè)素?cái)?shù)相加等于偶數(shù)的規(guī)律適用于整個(gè)閉區(qū)間[0, N]。即使項(xiàng)數(shù)N趨向于無窮大，這一規(guī)律依然成立。

即， 偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

2025年6月1日星期日

我二十多年的研究成果，精簡后也就是這些東西，翻譯成英語放到外網(wǎng)上去即可。要是把它擴(kuò)充鋪展開來，可以寫成厚厚的幾大本書。