素數(shù)等差數(shù)列及素數(shù)級數(shù)的探討

《正整數(shù)》一書草稿的第一章已經(jīng)公開發(fā)布到了網(wǎng)上，標題是“新素數(shù)理論體系”。這一章雖然把新發(fā)現(xiàn)的“新數(shù)論理論”闡述了一遍，有了“定義”和“定理”，對素數(shù)產(chǎn)生的原因和基本規(guī)律做了一個基本的描述。也有了幾個基本公式，但是它主要還是針對合數(shù)所講的，而素數(shù)在正整數(shù)中的分布規(guī)律闡述得還是不夠詳盡。

我們看到合數(shù)在正整數(shù)中有“合數(shù)項數(shù)列”、“合數(shù)項方程”和一個相對的“素數(shù)項公式”，但是沒有真對“素數(shù)數(shù)列”和“素數(shù)級數(shù)”的研究。素數(shù)等差數(shù)列和素數(shù)級數(shù)的連續(xù)性都是被“合數(shù)數(shù)列”打斷了。（這里必須注意，我所講的“合數(shù)項數(shù)列”與“合數(shù)數(shù)列”是有區(qū)別的。就是差一個“項”就是天壤之別，這一點讀我的文章時必須注意。）我們從最基本的起點講起，就是素數(shù)與合數(shù)產(chǎn)生的原因。我們才會看到“素數(shù)等差數(shù)列和素數(shù)級數(shù)”是如何產(chǎn)生的？是如何被“合數(shù)項數(shù)列”打斷的？我們使用的理論工具還是“正整數(shù)空間”。就是分別從正整數(shù)空間N+A至正整數(shù)空間6N+A中尋找規(guī)律和總結(jié)歸納。

這篇文章就是對《正整數(shù)空間》第一章的補充。

關(guān)于“定義”和“定理”之類的數(shù)學概念、數(shù)學語言和書寫格式等，我就不再去抽象的闡述和按規(guī)范的去做了。因為畢竟我不是數(shù)學專業(yè)的，一些數(shù)學上的“規(guī)范要求”和“標準用語”我還是外行。就像我們搞機電的或企業(yè)管理的，一些“語言”和概念是要求標準化的，要求使用“專業(yè)術(shù)語”。在數(shù)學上我所做的工作就是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，把它闡述出來，讓感興趣的人們（最好是數(shù)學專業(yè)的）接著按數(shù)學語言的要求去完成。

其它行業(yè)都有“國家標準”，數(shù)學專業(yè)有沒有“國家標準”規(guī)范，我不知道。不過我個人覺得，數(shù)學的“定義”，“定理”應該有條件和要求。有些本身不是定理，不是嚴格意義上的命題，就不要歸屬為“定理”了。有些一旦形成了“公理”也不需要證明。而對于“定理”的證明也不是公式的“堆積”應該是步驟分明，引用的“證據(jù)”清晰。定理的證明不一定都是“數(shù)學公式的推導”，其它方法的證明也是可行的。

數(shù)學是思想，是一種數(shù)學思維，更是藝術(shù)品，它牽扯到了哲學和邏輯學。邏輯學不是數(shù)學，但是沒有邏輯“數(shù)學”也是一鍋漿糊，這一點必須注意。

讀下面的內(nèi)容前，必須首先看懂和理解透上面的“正整數(shù)空間”的定義，才能夠繼續(xù)理解和看懂下面章節(jié)的內(nèi)容。

一、素數(shù)數(shù)列和素數(shù)級數(shù)產(chǎn)生的原因

我們首先使用正整數(shù)空間的N+1數(shù)列，來研究素數(shù)和合數(shù)出現(xiàn)的原因。然后使用4N+A空間和其它KN+A空間，探討素數(shù)等差數(shù)列以及素數(shù)奇數(shù)產(chǎn)生的原因和規(guī)律。

1、素數(shù)以及合數(shù)出現(xiàn)的原因

我們假設(shè)現(xiàn)在的時空是空虛的，什么都沒有。從0點開始我們就是“無中生有”，那就是從0到1。從0到1之間有多個多維空間，現(xiàn)在我們僅僅是在“一維空間”里擴展。就是以1為單位，向無窮的遠方逐漸鋪滿單位為一的格子，就像火車鐵軌的枕木一樣。

自然數(shù)不但有數(shù)量的性質(zhì)，如1、2、3……，還有序號順序的特性。我們把“格子”看成數(shù)量是1+1+……逐漸增多的，同時用一個“數(shù)字”1、2、3……來標識每一個格子里面的數(shù)量的多少。而每一個“數(shù)字”我們都標記一個序列號，就是0、1、2、3……。

見表格1，如下

N+1是“正整數(shù)空間”里面的“一維空間”，我們可以用等差數(shù)列公式表示

KN+A （公式 1.1）

其中，K是空間的維數(shù)，取值范圍 1、2、3……

N是項數(shù)，取值范圍 0、1、2、3……

A是空間里面等差數(shù)列的相位數(shù)。

比如 3N+A 空間。3是空間維數(shù)，N是項數(shù)，A是相位數(shù)，就是1、2、3。

就是由三個等差數(shù)列一組，3N+1、3N+2、3N+3代表全部正整數(shù)。

合數(shù)項數(shù)列不同于“正整數(shù)空間”的數(shù)列，這是兩個不同的概念。為了嚴格的區(qū)別開來，我們用等差數(shù)列公式表示

SK+n (公式1.2）

其中，S是正整數(shù)中的全部素數(shù)，取值是1、2、3、5、7……

K是項數(shù)，取值是1、2、3 ……

英文小寫n是 這個素數(shù)首次出現(xiàn)的合數(shù)的初始項。

比如 3K+2 ,K=1 n=5 3的合數(shù)是N+1=6。

注意，合數(shù)項數(shù)列不是“合數(shù)數(shù)列”，需要轉(zhuǎn)換一下。

一維正整數(shù)空間N+1的“合數(shù)項數(shù)列”如下，

1K+0

2K+1

3K+2

5K+4

7K+6……

SK+n

顯然正整數(shù)里面的合數(shù)都是以自己的素數(shù)為周期的。比如7的合數(shù)，14、21、28……

1我們定義成一個“單位”，但是它在不同的數(shù)學環(huán)境里既可以是素數(shù)，也可以是合數(shù)。

1的合數(shù)數(shù)列 1K+0 第一個1 我們就把它定義成素數(shù)。

這樣，從K=1 1XK=1X1開始 1、2、3……就都是1的合數(shù)。就是說全部正整數(shù)都是1的合數(shù)。

1后面出現(xiàn)了2，2是最小的偶數(shù)也是素數(shù)（注意奇數(shù)、偶數(shù)是我們?nèi)祟愖约阂?guī)定），本質(zhì)上講它與3、5、7……等素數(shù)的性質(zhì)都一樣，都是不同“整整數(shù)空間”的維數(shù)K。

相位N=2時，此時也是一個它前面沒有被2的合數(shù)數(shù)列所覆蓋的位置，所以出現(xiàn)了一個新的素數(shù)3。

到這里我們就知道了：1是一個素數(shù)，以1為單位在一維空間里（可以是多維空間，需要分別去探討）擴展一個無限遠的數(shù)軸。每一個空格里都有兩個屬性，一個是數(shù)量；另一個就是順序號（項數(shù)N）。從1后面的格子2開始，也是把1的性質(zhì)的重復一遍，不過它就是跳躍一個格子形成了以素數(shù)2為周期的合數(shù)項數(shù)列 2K+1 。在2的后面的一個格子，沒有被2的合數(shù)項數(shù)列所覆蓋，所以就用一個新的素數(shù)3來填充……，以此類推至無窮。這就是素數(shù)和合數(shù)產(chǎn)生的原因。

注意1我們一般定義成1個“單位”，在不同的數(shù)學環(huán)境里，它既可以是素數(shù)，也可以是合數(shù)。

2、素數(shù)數(shù)列和素數(shù)級數(shù)產(chǎn)生的初始原因

上面我們講了素數(shù)與合數(shù)產(chǎn)生的原因，下面我們講“素數(shù)等差數(shù)列和素數(shù)級數(shù)”產(chǎn)生的原因。

看下圖，表格2

看這個表格，如果假設(shè)“正整數(shù)中只有素數(shù)2和由它形成的合數(shù)”會出現(xiàn)什么情況？

此時新的素數(shù)和它們的合數(shù)，只能在表格的紅圈相位上出現(xiàn)。確切地說素數(shù)只能出現(xiàn)在帶紅圈的項數(shù)上。我們可以把這項的位置稱作“素數(shù)空穴”。

用一個“素數(shù)空穴”的等差數(shù)列表示就是

2H+2 （公式 1.3）

它得到的項數(shù)數(shù)列是2、4、6、8、10……

由假設(shè)我們可以得到，素數(shù)的等差數(shù)列是

S、S+2、S+4、S+6、S+8……

S、S+4、S+8、S+12、S+14……

取不同的項數(shù)就是素數(shù)級數(shù)。

S是某一素數(shù)數(shù)列的第一項的素數(shù)。由正整數(shù)的自然結(jié)構(gòu)就注定了，各種素數(shù)等差數(shù)列的公差，只能是2、4、6、8……這些偶數(shù)。

由于后面還有大量的素數(shù)以及他們的合數(shù)出現(xiàn)，這些紅圈的項數(shù)上會有越來越多的合數(shù)出現(xiàn)。但是我們知道在正整數(shù)中的素數(shù)是有無窮多的，并且它們都有自己的周期，所以這些形式的素數(shù)等差數(shù)列和級數(shù)數(shù)列，雖然“密度會降低”但是數(shù)量都是無窮多的。

以上就是素數(shù)等差數(shù)列和素數(shù)級數(shù)產(chǎn)生的原因，在奇數(shù)里面形成了“素數(shù)空穴”，而這些素數(shù)空穴的位置是滿足等差數(shù)列 2H+2的，而新的素數(shù)的合數(shù)會逐漸打斷這個素數(shù)空穴數(shù)列的連續(xù)性。

這些素數(shù)等差數(shù)列和素數(shù)級數(shù)是如何被打間斷的？

二、素數(shù)空穴數(shù)列被打斷的原因

所有等差數(shù)列組都是無窮擴展的，素數(shù)及其它的合數(shù)，永遠都不會填滿正整數(shù)形成的“素數(shù)空穴”。

1、正整數(shù)空間4N+A圖形規(guī)律

現(xiàn)在我們使用正整數(shù)4N+A來探討素數(shù)空穴2H+2，是如何被素數(shù)3的合數(shù)打斷的。我們看下表，

首先我們把單位1形成的一維數(shù)軸，變成“四車道”。我們叫它“4維正整數(shù)空間”。由四個等差數(shù)列并行組成一組代表全部正整數(shù)。數(shù)列4N+1和數(shù)列4N+3是“奇數(shù)數(shù)列”，里面包含著正整數(shù)里面的全部素數(shù)。4N+2和4N+4包含著正整數(shù)中的全部偶數(shù)。

除1以外我們把它看成最原始的空間單位，假設(shè)我們現(xiàn)在就有兩個數(shù)2、3和它們形成的合數(shù)。表格里那些紅色的圓圈就是“素數(shù)空穴”，這里可能出現(xiàn)新的素數(shù)，也可能出現(xiàn)新素數(shù)形成的合數(shù)。但是有一點很明確：素數(shù)空穴總是多于素數(shù)的合數(shù)。這一點我們會逐漸的看到得到證明。這一條可以是一個“定理”。

看項數(shù)0、1、2與從縱向的4個等差數(shù)列形成的數(shù)字，它們組成了一個“單位”（這里我們不使用“集合論”的概念）。我們發(fā)現(xiàn)這個結(jié)構(gòu)在4N+A空間里是固定的。后面的3、4、5項形成的結(jié)構(gòu)與0、1、2項形成的單位是一樣的，僅僅是相差了12。就是說把第一個“紅框”全程的圖形看成是基礎(chǔ)的，是第一頁，那么它后面的紅框就是第二頁、第三頁……

用等差數(shù)列表示就是可以形成一個更大的數(shù)列組，12N+1至12N+12。這種擴展最早期投稿我進行過，可以形成一個“定義”。

任何一個等差數(shù)列組都可以無限的擴展和放大自己。

這個定義我感覺非常重要，它像宇宙大爆炸、生物的繁衍和電腦中的復制。這個問題我們在這里不做探討，我們需要的是這個由12個數(shù)字組成的“結(jié)構(gòu)”它的性質(zhì)是固定的。比如對角線是素數(shù)3和它們的合數(shù)。每一頁上的“素數(shù)空穴”的位置都是固定不變的。如果出現(xiàn)了新的素數(shù)，這些“素數(shù)空穴”來填充的。

我們問了：素數(shù)是有無窮多的，你這里就有3個空穴，夠用嗎？別著急，我說了：這些空間都是隨著新素數(shù)的出現(xiàn)可以無現(xiàn)擴展的，空間的擴展出現(xiàn)的新位置，遠遠大于新素數(shù)和它們的合數(shù)出現(xiàn)位置的需要。

說明上面這個問題之前，我們先看一看“素數(shù)等差數(shù)列”的變化。

在N+1空間時形成的“素數(shù)空穴等差數(shù)列”2H+2，現(xiàn)在被素數(shù)3和它的合數(shù)打斷了，只能有（S、S+2）這樣的素數(shù)對了或（S、S+4）這樣的孿生素數(shù)對了。這一點在表格上不用證明就可以看到。

下面我們用正整數(shù)空間6N+A來說明等差數(shù)列空間可以無限擴展的問題，這個問題說明了就證明孿生素數(shù)對猜想等一些列數(shù)論里面的古老難題。

2、正整數(shù)空間6N+A圖形規(guī)律

我們把單位1形成的一維數(shù)軸，變成“6車道”，看表格4

我們還是假設(shè)，正整數(shù)只有2、3、5以及它們形成的合數(shù)。這是我們看到“素數(shù)空穴數(shù)列”S、S+4被素數(shù)5和它的合數(shù)所打斷。這上面的“素數(shù)空穴”的位置也是固定不變的，以后還會被新的素數(shù)和它的合數(shù)繼續(xù)打斷。

但是我們看到“新素數(shù)出現(xiàn)及它的合數(shù)，都是落后于正整數(shù)空間擴展的。也就是正整數(shù)中的素數(shù)空穴永遠都不會被新素數(shù)和它們的合數(shù)填滿”。

這樣做表格我們會做到無窮多，但是沒有必要，我們已經(jīng)清楚的看到了“素數(shù)等差數(shù)列”產(chǎn)生的原因及其他的規(guī)律了。至于“素數(shù)級數(shù)”僅僅是排列的問題，本質(zhì)上與素數(shù)數(shù)列是相同的。

以上我就研究到這里。這一部分是對《正整數(shù)空間》一書，第一章的理論補充。當然我自己都不滿意，這些東西應該規(guī)范化，用“數(shù)學語言”來闡述。使用概念、公理、定義、定理和證明來論證，還有公式和習題。這些以后讓對此感興趣的數(shù)學專業(yè)人士們?nèi)ネ瓿砂桑疫@能做到這些了，已經(jīng)完成了我自己的使命。對于第二章、第三章的內(nèi)容我也不做整理了。

作為一個業(yè)余數(shù)學愛好者，做到這一步也是千古一人了。我所承受的壓力和打擊別人是體會不到的。

在東亞大地上，我是炎黃子孫，我對得起生我養(yǎng)我的這片土地了。我也為中華民族爭了光，爭了氣，我是問心無愧的，以后這個民族會因為我的出現(xiàn)而驕傲。

夕陽無限好，只是近黃昏。在燦爛的夕陽里，我坦然地走完我余生最后的一段路，微笑的走下去。

2025年3月22日星期六